x^3-5*x^2+9*x-5=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^3-5*x^2+9*x-5=0

Вы ввели

 3      2              
x  - 5*x  + 9*x - 5 = 0

$$\left(9 x + \left(x^{3} - 5 x^{2}\right)\right) - 5 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$\left(9 x + \left(x^{3} - 5 x^{2}\right)\right) - 5 = 0$$
преобразуем
$$\left(9 x + \left(\left(- 5 x^{2} + \left(x^{3} - 1\right)\right) + 5\right)\right) - 9 = 0$$
или
$$\left(9 x + \left(\left(- 5 x^{2} + \left(x^{3} - 1^{3}\right)\right) + 5 \cdot 1^{2}\right)\right) - 9 = 0$$
$$9 \left(x - 1\right) + \left(- 5 \left(x^{2} - 1^{2}\right) + \left(x^{3} - 1^{3}\right)\right) = 0$$
$$9 \left(x - 1\right) + \left(- 5 \left(x - 1\right) \left(x + 1\right) + \left(x - 1\right) \left(\left(x^{2} + x\right) + 1^{2}\right)\right) = 0$$
Вынесем общий множитель -1 + x за скобки
получим:
$$\left(x - 1\right) \left(\left(- 5 \left(x + 1\right) + \left(\left(x^{2} + x\right) + 1^{2}\right)\right) + 9\right) = 0$$
или
$$\left(x - 1\right) \left(x^{2} - 4 x + 5\right) = 0$$
тогда:
$$x_{1} = 1$$
и также
получаем ур-ние
$$x^{2} - 4 x + 5 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{2} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{3} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -4$$
$$c = 5$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-4)^2 - 4 * (1) * (5) = -4

Т.к. D < 0, то уравнение
не имеет вещественных корней,
но комплексные корни имеются.

x2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x3 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{2} = 2 + i$$
Упростить
$$x_{3} = 2 - i$$
Упростить
Получаем окончательный ответ для x^3 - 5*x^2 + 9*x - 5 = 0:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 2 + i$$
$$x_{3} = 2 - i$$

Быстрый ответ

x1 = 1

$$x_{1} = 1$$

x2 = 2 - I

$$x_{2} = 2 - i$$

x3 = 2 + I

$$x_{3} = 2 + i$$

Сумма и произведение корней

сумма

1 + 2 - I + 2 + I

$$\left(1 + \left(2 - i\right)\right) + \left(2 + i\right)$$

=

5

$$5$$

произведение

(2 - I)*(2 + I)

$$\left(2 - i\right) \left(2 + i\right)$$

=

5

$$5$$

Теорема Виета

это приведённое кубическое уравнение
$$p x^{2} + q x + v + x^{3} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = -5$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 9$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = -5$$
Формулы Виета
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = - p$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = q$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = v$$
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = 5$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = 9$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = -5$$

Численный ответ

x1 = 1.0

x2 = 2.0 + 1.0*i

x3 = 2.0 - 1.0*i

График