x^3+4x-5=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^3+4x-5=0

Вы ввели

 3              
x  + 4*x - 5 = 0

$$x^{3} + 4 x - 5 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$x^{3} + 4 x - 5 = 0$$
преобразуем
$$\left(4 x + \left(1 x^{3} - 1\right)\right) - 4 = 0$$
или
$$\left(4 x + \left(1 x^{3} - 1^{3}\right)\right) + 1 \left(-4\right) = 0$$
$$4 \left(x - 1\right) + 1 \left(x^{3} - 1^{3}\right) = 0$$
$$1 \left(x - 1\right) \left(\left(x^{2} + 1 x\right) + 1^{2}\right) + 4 \left(x - 1\right) = 0$$
Вынесем общий множитель -1 + x за скобки
получим:
$$\left(x - 1\right) \left(1 \left(\left(x^{2} + 1 x\right) + 1^{2}\right) + 4\right) = 0$$
или
$$\left(x - 1\right) \left(x^{2} + x + 5\right) = 0$$
тогда:
$$x_{1} = 1$$
и также
получаем ур-ние
$$x^{2} + x + 5 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{2} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{3} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 1$$
$$c = 5$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(1)^2 - 4 * (1) * (5) = -19

Т.к. D < 0, то уравнение
не имеет вещественных корней,
но комплексные корни имеются.

x2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x3 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{19} i}{2}$$
Упростить
$$x_{3} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{19} i}{2}$$
Упростить
Получаем окончательный ответ для (x^3 + 4*x - 1*5) + 0 = 0:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{19} i}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{19} i}{2}$$

Быстрый ответ

x1 = 1

$$x_{1} = 1$$

               ____
       1   I*\/ 19 
x2 = - - - --------
       2      2    

$$x_{2} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{19} i}{2}$$

               ____
       1   I*\/ 19 
x3 = - - + --------
       2      2    

$$x_{3} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{19} i}{2}$$

Сумма и произведение корней

сумма

                  ____             ____
          1   I*\/ 19      1   I*\/ 19 
0 + 1 + - - - -------- + - - + --------
          2      2         2      2    

$$\left(\left(0 + 1\right) - \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{19} i}{2}\right)\right) - \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{19} i}{2}\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

    /          ____\ /          ____\
    |  1   I*\/ 19 | |  1   I*\/ 19 |
1*1*|- - - --------|*|- - + --------|
    \  2      2    / \  2      2    /

$$1 \cdot 1 \left(- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{19} i}{2}\right) \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{19} i}{2}\right)$$

=

5

$$5$$

Теорема Виета

это приведённое кубическое уравнение
$$p x^{2} + q x + v + x^{3} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 4$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = -5$$
Формулы Виета
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = - p$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = q$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = v$$
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = 4$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = -5$$

Численный ответ

x1 = -0.5 - 2.17944947177034*i

x2 = -0.5 + 2.17944947177034*i

x3 = 1.0

График