x^3+4x^2-4x-16=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^3+4x^2-4x-16=0

Вы ввели

 3      2               
x  + 4*x  - 4*x - 16 = 0

$$x^{3} + 4 x^{2} - 4 x - 16 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$x^{3} + 4 x^{2} - 4 x - 16 = 0$$
преобразуем
$$\left(- 4 x - \left(- x^{3} - 4 x^{2} + 24\right)\right) + 8 = 0$$
или
$$\left(- 4 x - \left(- x^{3} - 4 x^{2} + 8 + 16\right)\right) + 2 \cdot 4 = 0$$
$$- 4 \left(x - 2\right) + \left(4 \left(x^{2} - 2^{2}\right) + 1 \left(x^{3} - 2^{3}\right)\right) = 0$$
$$- 4 \left(x - 2\right) + \left(1 \left(x - 2\right) \left(\left(x^{2} + 2 x\right) + 2^{2}\right) + 4 \left(x - 2\right) \left(x + 2\right)\right) = 0$$
Вынесем общий множитель -2 + x за скобки
получим:
$$\left(x - 2\right) \left(\left(4 \left(x + 2\right) + 1 \left(\left(x^{2} + 2 x\right) + 2^{2}\right)\right) - 4\right) = 0$$
или
$$\left(x - 2\right) \left(x^{2} + 6 x + 8\right) = 0$$
тогда:
$$x_{1} = 2$$
и также
получаем ур-ние
$$x^{2} + 6 x + 8 = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{2} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{3} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 6$$
$$c = 8$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(6)^2 - 4 * (1) * (8) = 4

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x3 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{2} = -2$$
Упростить
$$x_{3} = -4$$
Упростить
Получаем окончательный ответ для (x^3 + 4*x^2 - 4*x - 1*16) + 0 = 0:
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = -2$$
$$x_{3} = -4$$

Быстрый ответ

x1 = -4

$$x_{1} = -4$$

x2 = -2

$$x_{2} = -2$$

x3 = 2

$$x_{3} = 2$$

Сумма и произведение корней

сумма

0 - 4 - 2 + 2

$$\left(\left(-4 + 0\right) - 2\right) + 2$$

=

-4

$$-4$$

произведение

1*-4*-2*2

$$1 \left(-4\right) \left(-2\right) 2$$

=

16

$$16$$

Теорема Виета

это приведённое кубическое уравнение
$$p x^{2} + q x + v + x^{3} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 4$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = -4$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = -16$$
Формулы Виета
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = - p$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = q$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = v$$
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = -4$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = -4$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = -16$$

Численный ответ

x1 = -2.0

x2 = 2.0

x3 = -4.0

График