x^3+x+6=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^3+x+6=0

Вы ввели

 3            
x  + x + 6 = 0

$$\left(x^{3} + x\right) + 6 = 0$$

Быстрый ответ

                                  ________________     /                                 ________________\
                               3 /          _____      |          ___             ___ 3 /          _____ |
                 1             \/  81 + 6*\/ 183       |        \/ 3            \/ 3 *\/  81 + 6*\/ 183  |
x1 = - --------------------- + ------------------- + I*|--------------------- + -------------------------|
            ________________            6              |     ________________               6            |
         3 /          _____                            |  3 /          _____                             |
       2*\/  81 + 6*\/ 183                             \2*\/  81 + 6*\/ 183                              /

$$x_{1} = - \frac{1}{2 \sqrt[3]{81 + 6 \sqrt{183}}} + \frac{\sqrt[3]{81 + 6 \sqrt{183}}}{6} + i \left(\frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt[3]{81 + 6 \sqrt{183}}} + \frac{\sqrt{3} \sqrt[3]{81 + 6 \sqrt{183}}}{6}\right)$$

                                  ________________     /                                   ________________\
                               3 /          _____      |            ___             ___ 3 /          _____ |
                 1             \/  81 + 6*\/ 183       |          \/ 3            \/ 3 *\/  81 + 6*\/ 183  |
x2 = - --------------------- + ------------------- + I*|- --------------------- - -------------------------|
            ________________            6              |       ________________               6            |
         3 /          _____                            |    3 /          _____                             |
       2*\/  81 + 6*\/ 183                             \  2*\/  81 + 6*\/ 183                              /

$$x_{2} = - \frac{1}{2 \sqrt[3]{81 + 6 \sqrt{183}}} + \frac{\sqrt[3]{81 + 6 \sqrt{183}}}{6} + i \left(- \frac{\sqrt{3} \sqrt[3]{81 + 6 \sqrt{183}}}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt[3]{81 + 6 \sqrt{183}}}\right)$$

                              ________________
                           3 /          _____ 
              1            \/  81 + 6*\/ 183  
x3 = ------------------- - -------------------
        ________________            3         
     3 /          _____                       
     \/  81 + 6*\/ 183                        

$$x_{3} = - \frac{\sqrt[3]{81 + 6 \sqrt{183}}}{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{81 + 6 \sqrt{183}}}$$

Сумма и произведение корней

сумма

                             ________________     /                                 ________________\                                ________________     /                                   ________________\                            ________________
                          3 /          _____      |          ___             ___ 3 /          _____ |                             3 /          _____      |            ___             ___ 3 /          _____ |                         3 /          _____ 
            1             \/  81 + 6*\/ 183       |        \/ 3            \/ 3 *\/  81 + 6*\/ 183  |               1             \/  81 + 6*\/ 183       |          \/ 3            \/ 3 *\/  81 + 6*\/ 183  |            1            \/  81 + 6*\/ 183  
- --------------------- + ------------------- + I*|--------------------- + -------------------------| + - --------------------- + ------------------- + I*|- --------------------- - -------------------------| + ------------------- - -------------------
       ________________            6              |     ________________               6            |          ________________            6              |       ________________               6            |      ________________            3         
    3 /          _____                            |  3 /          _____                             |       3 /          _____                            |    3 /          _____                             |   3 /          _____                       
  2*\/  81 + 6*\/ 183                             \2*\/  81 + 6*\/ 183                              /     2*\/  81 + 6*\/ 183                             \  2*\/  81 + 6*\/ 183                              /   \/  81 + 6*\/ 183                        

$$\left(- \frac{\sqrt[3]{81 + 6 \sqrt{183}}}{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{81 + 6 \sqrt{183}}}\right) + \left(\left(- \frac{1}{2 \sqrt[3]{81 + 6 \sqrt{183}}} + \frac{\sqrt[3]{81 + 6 \sqrt{183}}}{6} + i \left(- \frac{\sqrt{3} \sqrt[3]{81 + 6 \sqrt{183}}}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt[3]{81 + 6 \sqrt{183}}}\right)\right) + \left(- \frac{1}{2 \sqrt[3]{81 + 6 \sqrt{183}}} + \frac{\sqrt[3]{81 + 6 \sqrt{183}}}{6} + i \left(\frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt[3]{81 + 6 \sqrt{183}}} + \frac{\sqrt{3} \sqrt[3]{81 + 6 \sqrt{183}}}{6}\right)\right)\right)$$

=

  /                                 ________________\     /                                   ________________\
  |          ___             ___ 3 /          _____ |     |            ___             ___ 3 /          _____ |
  |        \/ 3            \/ 3 *\/  81 + 6*\/ 183  |     |          \/ 3            \/ 3 *\/  81 + 6*\/ 183  |
I*|--------------------- + -------------------------| + I*|- --------------------- - -------------------------|
  |     ________________               6            |     |       ________________               6            |
  |  3 /          _____                             |     |    3 /          _____                             |
  \2*\/  81 + 6*\/ 183                              /     \  2*\/  81 + 6*\/ 183                              /

$$i \left(- \frac{\sqrt{3} \sqrt[3]{81 + 6 \sqrt{183}}}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt[3]{81 + 6 \sqrt{183}}}\right) + i \left(\frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt[3]{81 + 6 \sqrt{183}}} + \frac{\sqrt{3} \sqrt[3]{81 + 6 \sqrt{183}}}{6}\right)$$

произведение

/                             ________________     /                                 ________________\\ /                             ________________     /                                   ________________\\ /                         ________________\
|                          3 /          _____      |          ___             ___ 3 /          _____ || |                          3 /          _____      |            ___             ___ 3 /          _____ || |                      3 /          _____ |
|            1             \/  81 + 6*\/ 183       |        \/ 3            \/ 3 *\/  81 + 6*\/ 183  || |            1             \/  81 + 6*\/ 183       |          \/ 3            \/ 3 *\/  81 + 6*\/ 183  || |         1            \/  81 + 6*\/ 183  |
|- --------------------- + ------------------- + I*|--------------------- + -------------------------||*|- --------------------- + ------------------- + I*|- --------------------- - -------------------------||*|------------------- - -------------------|
|       ________________            6              |     ________________               6            || |       ________________            6              |       ________________               6            || |   ________________            3         |
|    3 /          _____                            |  3 /          _____                             || |    3 /          _____                            |    3 /          _____                             || |3 /          _____                       |
\  2*\/  81 + 6*\/ 183                             \2*\/  81 + 6*\/ 183                              // \  2*\/  81 + 6*\/ 183                             \  2*\/  81 + 6*\/ 183                              // \\/  81 + 6*\/ 183                        /

$$\left(- \frac{1}{2 \sqrt[3]{81 + 6 \sqrt{183}}} + \frac{\sqrt[3]{81 + 6 \sqrt{183}}}{6} + i \left(\frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt[3]{81 + 6 \sqrt{183}}} + \frac{\sqrt{3} \sqrt[3]{81 + 6 \sqrt{183}}}{6}\right)\right) \left(- \frac{1}{2 \sqrt[3]{81 + 6 \sqrt{183}}} + \frac{\sqrt[3]{81 + 6 \sqrt{183}}}{6} + i \left(- \frac{\sqrt{3} \sqrt[3]{81 + 6 \sqrt{183}}}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt[3]{81 + 6 \sqrt{183}}}\right)\right) \left(- \frac{\sqrt[3]{81 + 6 \sqrt{183}}}{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{81 + 6 \sqrt{183}}}\right)$$

=

-6

$$-6$$

Теорема Виета

это приведённое кубическое уравнение
$$p x^{2} + q x + v + x^{3} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 1$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = 6$$
Формулы Виета
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = - p$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = q$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = v$$
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = 1$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = 6$$

Численный ответ

x1 = -1.63436529301354

x2 = 0.817182646506772 + 1.7330211866147*i

x3 = 0.817182646506772 - 1.7330211866147*i

График