x^3+x^2+x+1/3=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: x^3+x^2+x+1/3=0

Вы ввели

 3    2       1    
x  + x  + x + - = 0
              3    

$$x^{3} + x^{2} + x + \frac{1}{3} = 0$$

Сумма и произведение корней

сумма

          3 ___    2/3     /3 ___   ___    2/3   ___\         3 ___    2/3     /  3 ___   ___    2/3   ___\          2/3   3 ___
      1   \/ 2    2        |\/ 2 *\/ 3    2   *\/ 3 |     1   \/ 2    2        |  \/ 2 *\/ 3    2   *\/ 3 |     1   2      \/ 2 
0 + - - - ----- + ---- + I*|----------- + ----------| + - - - ----- + ---- + I*|- ----------- - ----------| + - - - ---- + -----
      3     6      6       \     6            6     /     3     6      6       \       6            6     /     3    3       3  

$$\left(- \frac{2^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{1}{3} + \frac{\sqrt[3]{2}}{3}\right) - \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{\sqrt[3]{2}}{3} + \frac{2}{3} - i \left(\frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3}}{6} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{6}\right) - i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{6} - \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3}}{6}\right)\right)$$

=

       /  3 ___   ___    2/3   ___\     /3 ___   ___    2/3   ___\
       |  \/ 2 *\/ 3    2   *\/ 3 |     |\/ 2 *\/ 3    2   *\/ 3 |
-1 + I*|- ----------- - ----------| + I*|----------- + ----------|
       \       6            6     /     \     6            6     /

$$-1 + i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{6} - \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3}}{6}\right) + i \left(\frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3}}{6} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{6}\right)$$

произведение

  /      3 ___    2/3     /3 ___   ___    2/3   ___\\ /      3 ___    2/3     /  3 ___   ___    2/3   ___\\ /       2/3   3 ___\
  |  1   \/ 2    2        |\/ 2 *\/ 3    2   *\/ 3 || |  1   \/ 2    2        |  \/ 2 *\/ 3    2   *\/ 3 || |  1   2      \/ 2 |
1*|- - - ----- + ---- + I*|----------- + ----------||*|- - - ----- + ---- + I*|- ----------- - ----------||*|- - - ---- + -----|
  \  3     6      6       \     6            6     // \  3     6      6       \       6            6     // \  3    3       3  /

$$1 \left(- \frac{1}{3} - \frac{\sqrt[3]{2}}{6} + \frac{2^{\frac{2}{3}}}{6} + i \left(\frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3}}{6} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{6}\right)\right) \left(- \frac{1}{3} - \frac{\sqrt[3]{2}}{6} + \frac{2^{\frac{2}{3}}}{6} + i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{6} - \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3}}{6}\right)\right) \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{1}{3} + \frac{\sqrt[3]{2}}{3}\right)$$

=

-1/3

$$- \frac{1}{3}$$

Быстрый ответ

           3 ___    2/3     /3 ___   ___    2/3   ___\
       1   \/ 2    2        |\/ 2 *\/ 3    2   *\/ 3 |
x1 = - - - ----- + ---- + I*|----------- + ----------|
       3     6      6       \     6            6     /

$$x_{1} = - \frac{1}{3} - \frac{\sqrt[3]{2}}{6} + \frac{2^{\frac{2}{3}}}{6} + i \left(\frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3}}{6} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{6}\right)$$

           3 ___    2/3     /  3 ___   ___    2/3   ___\
       1   \/ 2    2        |  \/ 2 *\/ 3    2   *\/ 3 |
x2 = - - - ----- + ---- + I*|- ----------- - ----------|
       3     6      6       \       6            6     /

$$x_{2} = - \frac{1}{3} - \frac{\sqrt[3]{2}}{6} + \frac{2^{\frac{2}{3}}}{6} + i \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{6} - \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt{3}}{6}\right)$$

            2/3   3 ___
       1   2      \/ 2 
x3 = - - - ---- + -----
       3    3       3  

$$x_{3} = - \frac{2^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{1}{3} + \frac{\sqrt[3]{2}}{3}$$

Теорема Виета

это приведённое кубическое уравнение
$$p x^{2} + q x + v + x^{3} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 1$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 1$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = \frac{1}{3}$$
Формулы Виета
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = - p$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = q$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = v$$
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = -1$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = 1$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = \frac{1}{3}$$

Численный ответ

x1 = -0.442493334024442

x2 = -0.278753332987779 - 0.821951090990108*i

x3 = -0.278753332987779 + 0.821951090990108*i

График