z^4=-81 (уравнение) Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼
Найду корень уравнения: z^4=-81
Решение
Подробное решение
Дано уравнениеz 4 = − 81 z^{4} = -81 z 4 = − 81 Т.к. степень в ур-нии равна = 4 и свободный член = -81 < 0, зн. действительных решений у соотв. ур-ния не существует Остальные 4 корня(ей) являются комплексными. сделаем замену:w = z w = z w = z тогда ур-ние будет таким:w 4 = − 81 w^{4} = -81 w 4 = − 81 Любое комплексное число можно представить так:w = r e i p w = r e^{i p} w = r e i p подставляем в уравнениеr 4 e 4 i p = − 81 r^{4} e^{4 i p} = -81 r 4 e 4 i p = − 81 гдеr = 3 r = 3 r = 3 - модуль комплексного числа Подставляем r:e 4 i p = − 1 e^{4 i p} = -1 e 4 i p = − 1 Используя формулу Эйлера, найдём корни для pi sin ( 4 p ) + cos ( 4 p ) = − 1 i \sin{\left(4 p \right)} + \cos{\left(4 p \right)} = -1 i sin ( 4 p ) + cos ( 4 p ) = − 1 значитcos ( 4 p ) = − 1 \cos{\left(4 p \right)} = -1 cos ( 4 p ) = − 1 иsin ( 4 p ) = 0 \sin{\left(4 p \right)} = 0 sin ( 4 p ) = 0 тогдаp = π N 2 + π 4 p = \frac{\pi N}{2} + \frac{\pi}{4} p = 2 π N + 4 π где N=0,1,2,3,... Перебирая значения N и подставив p в формулу для w Значит, решением будет для w:w 1 = − 3 2 2 − 3 2 i 2 w_{1} = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3 \sqrt{2} i}{2} w 1 = − 2 3 2 − 2 3 2 i w 2 = − 3 2 2 + 3 2 i 2 w_{2} = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2} i}{2} w 2 = − 2 3 2 + 2 3 2 i w 3 = 3 2 2 − 3 2 i 2 w_{3} = \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3 \sqrt{2} i}{2} w 3 = 2 3 2 − 2 3 2 i w 4 = 3 2 2 + 3 2 i 2 w_{4} = \frac{3 \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2} i}{2} w 4 = 2 3 2 + 2 3 2 i делаем обратную заменуw = z w = z w = z z = w z = w z = w Тогда, окончательный ответ:z 1 = − 3 2 2 − 3 2 i 2 z_{1} = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3 \sqrt{2} i}{2} z 1 = − 2 3 2 − 2 3 2 i z 2 = − 3 2 2 + 3 2 i 2 z_{2} = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2} i}{2} z 2 = − 2 3 2 + 2 3 2 i z 3 = 3 2 2 − 3 2 i 2 z_{3} = \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3 \sqrt{2} i}{2} z 3 = 2 3 2 − 2 3 2 i z 4 = 3 2 2 + 3 2 i 2 z_{4} = \frac{3 \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2} i}{2} z 4 = 2 3 2 + 2 3 2 i ___ ___
3*\/ 2 3*I*\/ 2
z1 = - ------- - ---------
2 2 z 1 = − 3 2 2 − 3 2 i 2 z_{1} = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3 \sqrt{2} i}{2} z 1 = − 2 3 2 − 2 3 2 i ___ ___
3*\/ 2 3*I*\/ 2
z2 = - ------- + ---------
2 2 z 2 = − 3 2 2 + 3 2 i 2 z_{2} = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2} i}{2} z 2 = − 2 3 2 + 2 3 2 i ___ ___
3*\/ 2 3*I*\/ 2
z3 = ------- - ---------
2 2 z 3 = 3 2 2 − 3 2 i 2 z_{3} = \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3 \sqrt{2} i}{2} z 3 = 2 3 2 − 2 3 2 i ___ ___
3*\/ 2 3*I*\/ 2
z4 = ------- + ---------
2 2 z 4 = 3 2 2 + 3 2 i 2 z_{4} = \frac{3 \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2} i}{2} z 4 = 2 3 2 + 2 3 2 i
Сумма и произведение корней
[src] ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___
3*\/ 2 3*I*\/ 2 3*\/ 2 3*I*\/ 2 3*\/ 2 3*I*\/ 2 3*\/ 2 3*I*\/ 2
0 + - ------- - --------- + - ------- + --------- + ------- - --------- + ------- + ---------
2 2 2 2 2 2 2 2 ( ( 3 2 2 − 3 2 i 2 ) − 3 2 ) + ( 3 2 2 + 3 2 i 2 ) \left(\left(\frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3 \sqrt{2} i}{2}\right) - 3 \sqrt{2}\right) + \left(\frac{3 \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2} i}{2}\right) ( ( 2 3 2 − 2 3 2 i ) − 3 2 ) + ( 2 3 2 + 2 3 2 i ) / ___ ___\ / ___ ___\ / ___ ___\ / ___ ___\
| 3*\/ 2 3*I*\/ 2 | | 3*\/ 2 3*I*\/ 2 | |3*\/ 2 3*I*\/ 2 | |3*\/ 2 3*I*\/ 2 |
1*|- ------- - ---------|*|- ------- + ---------|*|------- - ---------|*|------- + ---------|
\ 2 2 / \ 2 2 / \ 2 2 / \ 2 2 / 1 ( − 3 2 2 − 3 2 i 2 ) ( − 3 2 2 + 3 2 i 2 ) ( 3 2 2 − 3 2 i 2 ) ( 3 2 2 + 3 2 i 2 ) 1 \left(- \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3 \sqrt{2} i}{2}\right) \left(- \frac{3 \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2} i}{2}\right) \left(\frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3 \sqrt{2} i}{2}\right) \left(\frac{3 \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2} i}{2}\right) 1 ( − 2 3 2 − 2 3 2 i ) ( − 2 3 2 + 2 3 2 i ) ( 2 3 2 − 2 3 2 i ) ( 2 3 2 + 2 3 2 i ) z1 = 2.12132034355964 - 2.12132034355964*i z2 = 2.12132034355964 + 2.12132034355964*i z3 = -2.12132034355964 + 2.12132034355964*i z4 = -2.12132034355964 - 2.12132034355964*i