z^4=-81 (уравнение)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

Неизвестное в уравнении :

Искать численное решение на промежутке:

[, ]

    Найду корень уравнения: z^4=-81

    Решение

    Вы ввели [src]
     4      
    z  = -81
    z4=81z^{4} = -81
    Подробное решение
    Дано уравнение
    z4=81z^{4} = -81
    Т.к. степень в ур-нии равна = 4 и свободный член = -81 < 0,
    зн. действительных решений у соотв. ур-ния не существует

    Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
    сделаем замену:
    w=zw = z
    тогда ур-ние будет таким:
    w4=81w^{4} = -81
    Любое комплексное число можно представить так:
    w=reipw = r e^{i p}
    подставляем в уравнение
    r4e4ip=81r^{4} e^{4 i p} = -81
    где
    r=3r = 3
    - модуль комплексного числа
    Подставляем r:
    e4ip=1e^{4 i p} = -1
    Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
    isin(4p)+cos(4p)=1i \sin{\left(4 p \right)} + \cos{\left(4 p \right)} = -1
    значит
    cos(4p)=1\cos{\left(4 p \right)} = -1
    и
    sin(4p)=0\sin{\left(4 p \right)} = 0
    тогда
    p=πN2+π4p = \frac{\pi N}{2} + \frac{\pi}{4}
    где N=0,1,2,3,...
    Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
    Значит, решением будет для w:
    w1=32232i2w_{1} = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3 \sqrt{2} i}{2}
    w2=322+32i2w_{2} = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2} i}{2}
    w3=32232i2w_{3} = \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3 \sqrt{2} i}{2}
    w4=322+32i2w_{4} = \frac{3 \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2} i}{2}
    делаем обратную замену
    w=zw = z
    z=wz = w

    Тогда, окончательный ответ:
    z1=32232i2z_{1} = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3 \sqrt{2} i}{2}
    z2=322+32i2z_{2} = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2} i}{2}
    z3=32232i2z_{3} = \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3 \sqrt{2} i}{2}
    z4=322+32i2z_{4} = \frac{3 \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2} i}{2}
    График
    02468-8-6-4-2-20002000
    Быстрый ответ [src]
               ___         ___
           3*\/ 2    3*I*\/ 2 
    z1 = - ------- - ---------
              2          2    
    z1=32232i2z_{1} = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3 \sqrt{2} i}{2}
               ___         ___
           3*\/ 2    3*I*\/ 2 
    z2 = - ------- + ---------
              2          2    
    z2=322+32i2z_{2} = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2} i}{2}
             ___         ___
         3*\/ 2    3*I*\/ 2 
    z3 = ------- - ---------
            2          2    
    z3=32232i2z_{3} = \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3 \sqrt{2} i}{2}
             ___         ___
         3*\/ 2    3*I*\/ 2 
    z4 = ------- + ---------
            2          2    
    z4=322+32i2z_{4} = \frac{3 \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2} i}{2}
    Сумма и произведение корней [src]
    сумма
              ___         ___         ___         ___       ___         ___       ___         ___
          3*\/ 2    3*I*\/ 2      3*\/ 2    3*I*\/ 2    3*\/ 2    3*I*\/ 2    3*\/ 2    3*I*\/ 2 
    0 + - ------- - --------- + - ------- + --------- + ------- - --------- + ------- + ---------
             2          2            2          2          2          2          2          2    
    ((32232i2)32)+(322+32i2)\left(\left(\frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3 \sqrt{2} i}{2}\right) - 3 \sqrt{2}\right) + \left(\frac{3 \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2} i}{2}\right)
    =
    0
    00
    произведение
      /      ___         ___\ /      ___         ___\ /    ___         ___\ /    ___         ___\
      |  3*\/ 2    3*I*\/ 2 | |  3*\/ 2    3*I*\/ 2 | |3*\/ 2    3*I*\/ 2 | |3*\/ 2    3*I*\/ 2 |
    1*|- ------- - ---------|*|- ------- + ---------|*|------- - ---------|*|------- + ---------|
      \     2          2    / \     2          2    / \   2          2    / \   2          2    /
    1(32232i2)(322+32i2)(32232i2)(322+32i2)1 \left(- \frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3 \sqrt{2} i}{2}\right) \left(- \frac{3 \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2} i}{2}\right) \left(\frac{3 \sqrt{2}}{2} - \frac{3 \sqrt{2} i}{2}\right) \left(\frac{3 \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2} i}{2}\right)
    =
    81
    8181
    Численный ответ [src]
    z1 = 2.12132034355964 - 2.12132034355964*i
    z2 = 2.12132034355964 + 2.12132034355964*i
    z3 = -2.12132034355964 + 2.12132034355964*i
    z4 = -2.12132034355964 - 2.12132034355964*i
    График
    z^4=-81 (уравнение) /media/krcore-image-pods/hash/equation/9/26/8832f77ccebcfc93546300aed8384.png