z^5-1=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: z^5-1=0

Вы ввели

 5        
z  - 1 = 0

$$z^{5} - 1 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$z^{5} - 1 = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 5 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 5-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[5]{\left(1 z + 0\right)^{5}} = \sqrt[5]{1}$$
или
$$z = 1$$
Получим ответ: z = 1

Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$w = z$$
тогда ур-ние будет таким:
$$w^{5} = 1$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$w = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{5} e^{5 i p} = 1$$
где
$$r = 1$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{5 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(5 p \right)} + \cos{\left(5 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(5 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(5 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{5}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
Значит, решением будет для w:
$$w_{1} = 1$$
$$w_{2} = - \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} - i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$w_{3} = - \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} + i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$w_{4} = - \frac{\sqrt{5}}{4} - \frac{1}{4} - i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$w_{5} = - \frac{\sqrt{5}}{4} - \frac{1}{4} + i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
делаем обратную замену
$$w = z$$
$$z = w$$

Тогда, окончательный ответ:
$$z_{1} = 1$$
$$z_{2} = - \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} - i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{3} = - \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} + i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{4} = - \frac{\sqrt{5}}{4} - \frac{1}{4} - i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$
$$z_{5} = - \frac{\sqrt{5}}{4} - \frac{1}{4} + i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$

Быстрый ответ

z1 = 1

$$z_{1} = 1$$

                          ___________
             ___         /       ___ 
       1   \/ 5         /  5   \/ 5  
z2 = - - + ----- - I*  /   - + ----- 
       4     4       \/    8     8   

$$z_{2} = - \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} - i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$

                          ___________
             ___         /       ___ 
       1   \/ 5         /  5   \/ 5  
z3 = - - + ----- + I*  /   - + ----- 
       4     4       \/    8     8   

$$z_{3} = - \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} + i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$

                          ___________
             ___         /       ___ 
       1   \/ 5         /  5   \/ 5  
z4 = - - - ----- - I*  /   - - ----- 
       4     4       \/    8     8   

$$z_{4} = - \frac{\sqrt{5}}{4} - \frac{1}{4} - i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$

                          ___________
             ___         /       ___ 
       1   \/ 5         /  5   \/ 5  
z5 = - - - ----- + I*  /   - - ----- 
       4     4       \/    8     8   

$$z_{5} = - \frac{\sqrt{5}}{4} - \frac{1}{4} + i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}$$

Сумма и произведение корней

сумма

                             ___________                        ___________                        ___________                        ___________
                ___         /       ___            ___         /       ___            ___         /       ___            ___         /       ___ 
          1   \/ 5         /  5   \/ 5       1   \/ 5         /  5   \/ 5       1   \/ 5         /  5   \/ 5       1   \/ 5         /  5   \/ 5  
0 + 1 + - - + ----- - I*  /   - + -----  + - - + ----- + I*  /   - + -----  + - - - ----- - I*  /   - - -----  + - - - ----- + I*  /   - - ----- 
          4     4       \/    8     8        4     4       \/    8     8        4     4       \/    8     8        4     4       \/    8     8   

$$\left(\left(- \frac{\sqrt{5}}{4} - \frac{1}{4} - i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}\right) + \left(\left(\left(0 + 1\right) - \left(- \frac{\sqrt{5}}{4} + \frac{1}{4} + i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right)\right) + \left(- \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} + i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right)\right)\right) - \left(\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} - i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

    /                     ___________\ /                     ___________\ /                     ___________\ /                     ___________\
    |        ___         /       ___ | |        ___         /       ___ | |        ___         /       ___ | |        ___         /       ___ |
    |  1   \/ 5         /  5   \/ 5  | |  1   \/ 5         /  5   \/ 5  | |  1   \/ 5         /  5   \/ 5  | |  1   \/ 5         /  5   \/ 5  |
1*1*|- - + ----- - I*  /   - + ----- |*|- - + ----- + I*  /   - + ----- |*|- - - ----- - I*  /   - - ----- |*|- - - ----- + I*  /   - - ----- |
    \  4     4       \/    8     8   / \  4     4       \/    8     8   / \  4     4       \/    8     8   / \  4     4       \/    8     8   /

$$1 \cdot 1 \left(- \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} - i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right) \left(- \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{5}}{4} + i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}\right) \left(- \frac{\sqrt{5}}{4} - \frac{1}{4} - i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}\right) \left(- \frac{\sqrt{5}}{4} - \frac{1}{4} + i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}\right)$$

=

1

$$1$$

Численный ответ

z1 = -0.809016994374947 - 0.587785252292473*i

z2 = -0.809016994374947 + 0.587785252292473*i

z3 = 0.309016994374947 - 0.951056516295154*i

z4 = 0.309016994374947 + 0.951056516295154*i

z5 = 1.0

График