z^5+1+i=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: z^5+1+i=0

Вы ввели

 5            
z  + 1 + I = 0

$$\left(z^{5} + 1\right) + i = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$\left(z^{5} + 1\right) + i = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 5 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 5-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[5]{z^{5}} = \sqrt[5]{-1 - i}$$
или
$$z = \sqrt[5]{-1 - i}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

z = -1+i^1/5

Получим ответ: z = (-1 - i)^(1/5)

Остальные 5 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$w = z$$
тогда ур-ние будет таким:
$$w^{5} = -1 - i$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$w = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{5} e^{5 i p} = -1 - i$$
где
$$r = \sqrt[10]{2}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{5 i p} = \frac{\sqrt{2} \left(-1 - i\right)}{2}$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(5 p \right)} + \cos{\left(5 p \right)} = \frac{\sqrt{2} \left(-1 - i\right)}{2}$$
значит
$$\cos{\left(5 p \right)} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
и
$$\sin{\left(5 p \right)} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{5} + \frac{\pi}{20}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
Значит, решением будет для w:
$$w_{1} = \frac{2^{\frac{3}{5}}}{2} + \frac{2^{\frac{3}{5}} i}{2}$$
$$w_{2} = - \frac{2^{\frac{3}{5}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{2^{\frac{3}{5}} i}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} i}{8}$$
$$w_{3} = - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5}}{8} - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{2^{\frac{3}{5}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} i}{8} - \frac{2^{\frac{3}{5}} i}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4}$$
$$w_{4} = - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8} - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8} - \frac{2^{\frac{3}{5}}}{8} - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{2^{\frac{3}{5}} i}{8} - \frac{2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2}$$
$$w_{5} = - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8} - \frac{2^{\frac{3}{5}}}{8} - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8} - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8} - \frac{2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8} - \frac{2^{\frac{3}{5}} i}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8}$$
делаем обратную замену
$$w = z$$
$$z = w$$

Тогда, окончательный ответ:
$$z_{1} = \frac{2^{\frac{3}{5}}}{2} + \frac{2^{\frac{3}{5}} i}{2}$$
$$z_{2} = - \frac{2^{\frac{3}{5}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{2^{\frac{3}{5}} i}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} i}{8}$$
$$z_{3} = - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5}}{8} - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{2^{\frac{3}{5}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} i}{8} - \frac{2^{\frac{3}{5}} i}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4}$$
$$z_{4} = - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8} - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8} - \frac{2^{\frac{3}{5}}}{8} - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{2^{\frac{3}{5}} i}{8} - \frac{2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2}$$
$$z_{5} = - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8} - \frac{2^{\frac{3}{5}}}{8} - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8} - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8} - \frac{2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8} - \frac{2^{\frac{3}{5}} i}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8}$$

Быстрый ответ

      3/5      3/5
     2      I*2   
z1 = ---- + ------
      2       2   

$$z_{1} = \frac{2^{\frac{3}{5}}}{2} + \frac{2^{\frac{3}{5}} i}{2}$$

                /                   ___________             \             ___________             
                |                  /       ___              |            /       ___              
                |          3/5    /  5   \/ 5               |    3/5    /  5   \/ 5               
        3/5     |   3/5   2   *  /   - + -----     3/5   ___|   2   *  /   - + -----     3/5   ___
       2        |  2           \/    8     8      2   *\/ 5 |        \/    8     8      2   *\/ 5 
z2 = - ---- + I*|- ---- - --------------------- + ----------| + --------------------- + ----------
        8       \   8               2                 8     /             2                 8     

$$z_{2} = - \frac{2^{\frac{3}{5}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} + i \left(- \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{2^{\frac{3}{5}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5}}{8}\right)$$

                /                                ___________                   ___________\             ___________                                ___________
                |                               /       ___                   /       ___ |            /       ___                                /       ___ 
                |                       3/5    /  5   \/ 5      3/5   ___    /  5   \/ 5  |    3/5    /  5   \/ 5                   3/5   ___    /  5   \/ 5  
        3/5     |   3/5    3/5   ___   2   *  /   - + -----    2   *\/ 5 *  /   - + ----- |   2   *  /   - + -----     3/5   ___   2   *\/ 5 *  /   - + ----- 
       2        |  2      2   *\/ 5         \/    8     8                 \/    8     8   |        \/    8     8      2   *\/ 5               \/    8     8   
z3 = - ---- + I*|- ---- - ---------- + --------------------- - ---------------------------| - --------------------- - ---------- + ---------------------------
        8       \   8         8                  4                          4             /             4                 8                     4             

$$z_{3} = - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5}}{8} - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{2^{\frac{3}{5}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} + i \left(- \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4} - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5}}{8} - \frac{2^{\frac{3}{5}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{4}\right)$$

                /                   ___________             ___________             ___________      ___________                   ___________                   ___________\             ___________             ___________             ___________      ___________                   ___________                   ___________
                |                  /       ___             /       ___             /       ___      /       ___                   /       ___                   /       ___ |            /       ___             /       ___             /       ___      /       ___                   /       ___                   /       ___ 
                |          3/5    /  5   \/ 5      3/5    /  5   \/ 5      3/5    /  5   \/ 5      /  5   \/ 5      3/5   ___    /  5   \/ 5      3/5   ___    /  5   \/ 5  |    3/5    /  5   \/ 5      3/5    /  5   \/ 5      3/5    /  5   \/ 5      /  5   \/ 5      3/5   ___    /  5   \/ 5      3/5   ___    /  5   \/ 5  
        3/5     |   3/5   2   *  /   - - -----    2   *  /   - + -----    2   *  /   - - ----- *  /   - + -----    2   *\/ 5 *  /   - - -----    2   *\/ 5 *  /   - + ----- |   2   *  /   - + -----    2   *  /   - - -----    2   *  /   - - ----- *  /   - + -----    2   *\/ 5 *  /   - - -----    2   *\/ 5 *  /   - + ----- 
       2        |  2           \/    8     8           \/    8     8           \/    8     8    \/    8     8                 \/    8     8                 \/    8     8   |        \/    8     8           \/    8     8           \/    8     8    \/    8     8                 \/    8     8                 \/    8     8   
z4 = - ---- + I*|- ---- - --------------------- + --------------------- + -------------------------------------- + --------------------------- + ---------------------------| - --------------------- + --------------------- + -------------------------------------- - --------------------------- - ---------------------------
        8       \   8               8                       8                               2                                   8                             8             /             8                       8                               2                                   8                             8             

$$z_{4} = - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8} - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8} - \frac{2^{\frac{3}{5}}}{8} - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} + i \left(- \frac{2^{\frac{3}{5}}}{8} - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2}\right)$$

                /                   ___________             ___________             ___________      ___________                   ___________                   ___________\             ___________             ___________             ___________      ___________                   ___________                   ___________
                |                  /       ___             /       ___             /       ___      /       ___                   /       ___                   /       ___ |            /       ___             /       ___             /       ___      /       ___                   /       ___                   /       ___ 
                |          3/5    /  5   \/ 5      3/5    /  5   \/ 5      3/5    /  5   \/ 5      /  5   \/ 5      3/5   ___    /  5   \/ 5      3/5   ___    /  5   \/ 5  |    3/5    /  5   \/ 5      3/5    /  5   \/ 5      3/5    /  5   \/ 5      /  5   \/ 5      3/5   ___    /  5   \/ 5      3/5   ___    /  5   \/ 5  
        3/5     |   3/5   2   *  /   - - -----    2   *  /   - + -----    2   *  /   - - ----- *  /   - + -----    2   *\/ 5 *  /   - - -----    2   *\/ 5 *  /   - + ----- |   2   *  /   - - -----    2   *  /   - + -----    2   *  /   - - ----- *  /   - + -----    2   *\/ 5 *  /   - + -----    2   *\/ 5 *  /   - - ----- 
       2        |  2           \/    8     8           \/    8     8           \/    8     8    \/    8     8                 \/    8     8                 \/    8     8   |        \/    8     8           \/    8     8           \/    8     8    \/    8     8                 \/    8     8                 \/    8     8   
z5 = - ---- + I*|- ---- + --------------------- + --------------------- - -------------------------------------- - --------------------------- + ---------------------------| - --------------------- - --------------------- - -------------------------------------- - --------------------------- + ---------------------------
        8       \   8               8                       8                               2                                   8                             8             /             8                       8                               2                                   8                             8             

$$z_{5} = - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8} - \frac{2^{\frac{3}{5}}}{8} - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8} - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8} + i \left(- \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8} - \frac{2^{\frac{3}{5}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8} + \frac{2^{\frac{3}{5}} \sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8}\right)$$

Численный ответ

z1 = -0.167662308256181 - 1.05857815270638*i

z2 = -1.05857815270638 - 0.167662308256181*i

z3 = 0.757858283255199 + 0.757858283255199*i

z4 = -0.486574969864436 + 0.954957147571795*i

z5 = 0.954957147571795 - 0.486574969864436*i