Решение уравнений/ Любые/ z^6+28*z^3+27=0

z^6+28*z^3+27=0 (уравнение)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

Примеры
Неизвестное в уравнении :

Искать численное решение на промежутке:

[, ]

    Найду корень уравнения: z^6+28*z^3+27=0

    Решение

    Вы ввели [src]
     6       3         
z  + 28*z  + 27 = 0
    $$\left(z^{6} + 28 z^{3}\right) + 27 = 0$$
    Упростить
    Подробное решение
    Дано уравнение:
    $$\left(z^{6} + 28 z^{3}\right) + 27 = 0$$
    Сделаем замену
    $$v = z^{3}$$
    тогда ур-ние будет таким:
    $$v^{2} + 28 v + 27 = 0$$
    Это уравнение вида
    a*v^2 + b*v + c = 0

    Квадратное уравнение можно решить
    с помощью дискриминанта.
    Корни квадратного уравнения:
    $$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
    $$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
    где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
    Т.к.
    $$a = 1$$
    $$b = 28$$
    $$c = 27$$
    , то
    D = b^2 - 4 * a * c = 

    (28)^2 - 4 * (1) * (27) = 676

    Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
    v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

    v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

    или
    $$v_{1} = -1$$
    Упростить
    $$v_{2} = -27$$
    Упростить
    Получаем окончательный ответ:
    Т.к.
    $$v = z^{3}$$
    то
    $$z_{1} = \sqrt[3]{v_{1}}$$
    $$z_{3} = \sqrt[3]{v_{2}}$$
    тогда:
    $$z_{1} = $$
    $$\frac{0}{1} + \frac{\left(-1\right)^{\frac{1}{3}}}{1} = \sqrt[3]{-1}$$
    $$z_{3} = $$
    $$\frac{0}{1} + \frac{\left(-27\right)^{\frac{1}{3}}}{1} = 3 \sqrt[3]{-1}$$
    Быстрый ответ [src]
    z1 = -3
    $$z_{1} = -3$$
    z2 = -1
    $$z_{2} = -1$$
                 ___
     1   I*\/ 3 
z3 = - - -------
     2      2
    $$z_{3} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
                 ___
     1   I*\/ 3 
z4 = - + -------
     2      2
    $$z_{4} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
                   ___
     3   3*I*\/ 3 
z5 = - - ---------
     2       2
    $$z_{5} = \frac{3}{2} - \frac{3 \sqrt{3} i}{2}$$
                   ___
     3   3*I*\/ 3 
z6 = - + ---------
     2       2
    $$z_{6} = \frac{3}{2} + \frac{3 \sqrt{3} i}{2}$$
    Сумма и произведение корней [src]
    сумма
                     ___           ___             ___             ___
         1   I*\/ 3    1   I*\/ 3    3   3*I*\/ 3    3   3*I*\/ 3 
-3 - 1 + - - ------- + - + ------- + - - --------- + - + ---------
         2      2      2      2      2       2       2       2
    $$\left(\left(\frac{3}{2} - \frac{3 \sqrt{3} i}{2}\right) + \left(\left(\left(-3 - 1\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)\right) + \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right)\right)\right) + \left(\frac{3}{2} + \frac{3 \sqrt{3} i}{2}\right)$$
    =
    0
    $$0$$
    произведение
            /        ___\ /        ___\ /          ___\ /          ___\
        |1   I*\/ 3 | |1   I*\/ 3 | |3   3*I*\/ 3 | |3   3*I*\/ 3 |
-3*(-1)*|- - -------|*|- + -------|*|- - ---------|*|- + ---------|
        \2      2   / \2      2   / \2       2    / \2       2    /
    $$- -3 \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) \left(\frac{3}{2} - \frac{3 \sqrt{3} i}{2}\right) \left(\frac{3}{2} + \frac{3 \sqrt{3} i}{2}\right)$$
    =
    27
    $$27$$
    Численный ответ [src]
    z1 = -3.0
    z2 = 0.5 - 0.866025403784439*i
    z3 = 1.5 + 2.59807621135332*i
    z4 = 0.5 + 0.866025403784439*i
    z5 = -1.0
    z6 = 1.5 - 2.59807621135332*i