z^3+3z^2+9z+27=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: z^3+3z^2+9z+27=0

Вы ввели

 3      2               
z  + 3*z  + 9*z + 27 = 0

$$z^{3} + 3 z^{2} + 9 z + 27 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$z^{3} + 3 z^{2} + 9 z + 27 = 0$$
преобразуем
$$\left(9 z + \left(\left(3 z^{2} + \left(1 z^{3} + 27\right)\right) - 27\right)\right) + 27 = 0$$
или
$$\left(9 z - \left(- z^{3} - 3 z^{2} - 27 + 27\right)\right) - -27 = 0$$
$$9 \left(z + 3\right) + \left(3 \left(z^{2} - \left(-3\right)^{2}\right) + 1 \left(z^{3} - \left(-3\right)^{3}\right)\right) = 0$$
$$9 \left(z + 3\right) + \left(\left(z - 3\right) 3 \left(z + 3\right) + 1 \left(z + 3\right) \left(\left(z^{2} - 3 z\right) + \left(-3\right)^{2}\right)\right) = 0$$
Вынесем общий множитель 3 + z за скобки
получим:
$$\left(z + 3\right) \left(\left(3 \left(z - 3\right) + 1 \left(\left(z^{2} - 3 z\right) + \left(-3\right)^{2}\right)\right) + 9\right) = 0$$
или
$$\left(z + 3\right) \left(z^{2} + 9\right) = 0$$
тогда:
$$z_{1} = -3$$
и также
получаем ур-ние
$$z^{2} + 9 = 0$$
Это уравнение вида

a*z^2 + b*z + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$z_{2} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$z_{3} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 0$$
$$c = 9$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(0)^2 - 4 * (1) * (9) = -36

Т.к. D < 0, то уравнение
не имеет вещественных корней,
но комплексные корни имеются.

z2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

z3 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$z_{2} = 3 i$$
Упростить
$$z_{3} = - 3 i$$
Упростить
Получаем окончательный ответ для (z^3 + 3*z^2 + 9*z + 27) + 0 = 0:
$$z_{1} = -3$$
$$z_{2} = 3 i$$
$$z_{3} = - 3 i$$

Быстрый ответ

z1 = -3

$$z_{1} = -3$$

z2 = -3*I

$$z_{2} = - 3 i$$

z3 = 3*I

$$z_{3} = 3 i$$

Сумма и произведение корней

сумма

0 - 3 - 3*I + 3*I

$$\left(\left(-3 + 0\right) - 3 i\right) + 3 i$$

=

-3

$$-3$$

произведение

1*-3*-3*I*3*I

$$3 i 1 \left(-3\right) \left(- 3 i\right)$$

=

-27

$$-27$$

Теорема Виета

это приведённое кубическое уравнение
$$p z^{2} + q z + v + z^{3} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 3$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 9$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = 27$$
Формулы Виета
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = - p$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = q$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = v$$
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = -3$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = 9$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = 27$$

Численный ответ

z1 = 3.0*i

z2 = -3.0*i

z3 = -3.0

График