z^3+125=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: z^3+125=0

Вы ввели

 3          
z  + 125 = 0

$$z^{3} + 125 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$z^{3} + 125 = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[3]{z^{3}} = \sqrt[3]{-125}$$
или
$$z = 5 \sqrt[3]{-1}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

z = -5*1^1/3

Получим ответ: z = 5*(-1)^(1/3)

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$w = z$$
тогда ур-ние будет таким:
$$w^{3} = -125$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$w = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = -125$$
где
$$r = 5$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3} + \frac{\pi}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
Значит, решением будет для w:
$$w_{1} = -5$$
$$w_{2} = \frac{5}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2}$$
$$w_{3} = \frac{5}{2} + \frac{5 \sqrt{3} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$w = z$$
$$z = w$$

Тогда, окончательный ответ:
$$z_{1} = -5$$
$$z_{2} = \frac{5}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{3} = \frac{5}{2} + \frac{5 \sqrt{3} i}{2}$$

Быстрый ответ

z1 = -5

$$z_{1} = -5$$

               ___
     5   5*I*\/ 3 
z2 = - - ---------
     2       2    

$$z_{2} = \frac{5}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2}$$

               ___
     5   5*I*\/ 3 
z3 = - + ---------
     2       2    

$$z_{3} = \frac{5}{2} + \frac{5 \sqrt{3} i}{2}$$

Сумма и произведение корней

сумма

               ___             ___
     5   5*I*\/ 3    5   5*I*\/ 3 
-5 + - - --------- + - + ---------
     2       2       2       2    

$$\left(-5 + \left(\frac{5}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2}\right)\right) + \left(\frac{5}{2} + \frac{5 \sqrt{3} i}{2}\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

   /          ___\ /          ___\
   |5   5*I*\/ 3 | |5   5*I*\/ 3 |
-5*|- - ---------|*|- + ---------|
   \2       2    / \2       2    /

$$- 5 \left(\frac{5}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2}\right) \left(\frac{5}{2} + \frac{5 \sqrt{3} i}{2}\right)$$

=

-125

$$-125$$

Теорема Виета

это приведённое кубическое уравнение
$$p z^{2} + q z + v + z^{3} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = 125$$
Формулы Виета
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = - p$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = q$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = v$$
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = 125$$

Численный ответ

z1 = -5.0

z2 = 2.5 - 4.33012701892219*i

z3 = 2.5 + 4.33012701892219*i