Решите уравнение x^6=64 (х в степени 6 равно 64) - Найдите корень уравнения подробно по-шагам. [Есть ОТВЕТ!]

x^6=64 (уравнение)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение😉

Уравнение с неизвестным  :

Искать численное решение на промежутке:

[, ]

    Найду корень уравнения: x^6=64

    Решение

    Вы ввели [src]
     6     
    x  = 64
    $$x^{6} = 64$$
    Подробное решение
    Дано уравнение
    $$x^{6} = 64$$
    Т.к. степень в ур-нии равна = 6 - содержит чётное число 6 в числителе, то
    ур-ние будет иметь два действительных корня.
    Извлечём корень 6-й степени из обеих частей ур-ния:
    Получим:
    $$\sqrt[6]{x^{6}} = \sqrt[6]{64}$$
    $$\sqrt[6]{x^{6}} = \left(-1\right) \sqrt[6]{64}$$
    или
    $$x = 2$$
    $$x = -2$$
    Получим ответ: x = 2
    Получим ответ: x = -2
    или
    $$x_{1} = -2$$
    $$x_{2} = 2$$

    Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
    сделаем замену:
    $$z = x$$
    тогда ур-ние будет таким:
    $$z^{6} = 64$$
    Любое комплексное число можно представить так:
    $$z = r e^{i p}$$
    подставляем в уравнение
    $$r^{6} e^{6 i p} = 64$$
    где
    $$r = 2$$
    - модуль комплексного числа
    Подставляем r:
    $$e^{6 i p} = 1$$
    Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
    $$i \sin{\left(6 p \right)} + \cos{\left(6 p \right)} = 1$$
    значит
    $$\cos{\left(6 p \right)} = 1$$
    и
    $$\sin{\left(6 p \right)} = 0$$
    тогда
    $$p = \frac{\pi N}{3}$$
    где N=0,1,2,3,...
    Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
    Значит, решением будет для z:
    $$z_{1} = -2$$
    $$z_{2} = 2$$
    $$z_{3} = -1 - \sqrt{3} i$$
    $$z_{4} = -1 + \sqrt{3} i$$
    $$z_{5} = 1 - \sqrt{3} i$$
    $$z_{6} = 1 + \sqrt{3} i$$
    делаем обратную замену
    $$z = x$$
    $$x = z$$

    Тогда, окончательный ответ:
    $$x_{1} = -2$$
    $$x_{2} = 2$$
    $$x_{3} = -1 - \sqrt{3} i$$
    $$x_{4} = -1 + \sqrt{3} i$$
    $$x_{5} = 1 - \sqrt{3} i$$
    $$x_{6} = 1 + \sqrt{3} i$$
    График
    Быстрый ответ [src]
    x1 = -2
    $$x_{1} = -2$$
    x2 = 2
    $$x_{2} = 2$$
                  ___
    x3 = -1 - I*\/ 3 
    $$x_{3} = -1 - \sqrt{3} i$$
                  ___
    x4 = -1 + I*\/ 3 
    $$x_{4} = -1 + \sqrt{3} i$$
                 ___
    x5 = 1 - I*\/ 3 
    $$x_{5} = 1 - \sqrt{3} i$$
                 ___
    x6 = 1 + I*\/ 3 
    $$x_{6} = 1 + \sqrt{3} i$$
    Сумма и произведение корней [src]
    сумма
                      ___            ___           ___           ___
    -2 + 2 + -1 - I*\/ 3  + -1 + I*\/ 3  + 1 - I*\/ 3  + 1 + I*\/ 3 
    $$\left(\left(1 - \sqrt{3} i\right) + \left(\left(\left(-2 + 2\right) + \left(-1 - \sqrt{3} i\right)\right) + \left(-1 + \sqrt{3} i\right)\right)\right) + \left(1 + \sqrt{3} i\right)$$
    =
    0
    $$0$$
    произведение
         /         ___\ /         ___\ /        ___\ /        ___\
    -2*2*\-1 - I*\/ 3 /*\-1 + I*\/ 3 /*\1 - I*\/ 3 /*\1 + I*\/ 3 /
    $$- 4 \left(-1 - \sqrt{3} i\right) \left(-1 + \sqrt{3} i\right) \left(1 - \sqrt{3} i\right) \left(1 + \sqrt{3} i\right)$$
    =
    -64
    $$-64$$
    Численный ответ [src]
    x1 = 1.0 - 1.73205080756888*i
    x2 = 2.0
    x3 = -1.0 + 1.73205080756888*i
    x4 = 1.0 + 1.73205080756888*i
    x5 = -2.0
    x6 = -1.0 - 1.73205080756888*i
    График
    x^6=64 (уравнение) /media/krcore-image-pods/hash/equation/0/69/2b908335a516910f43d15b64142ad.png
    ×

    Где учитесь?

    Для правильного составления решения, укажите: