x^3=5 (уравнение)

Уравнение с неизвестным  :

Искать численное решение на промежутке [, ]

    Найду корень уравнения: x^3=5

    Решение

    Вы ввели
    [LaTeX]
     3    
    x  = 5
    $$x^{3} = 5$$
    Подробное решение
    [LaTeX]
    Дано уравнение
    $$x^{3} = 5$$
    Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
    ур-ние будет иметь один действительный корень.
    Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
    Получим:
    $$\sqrt[3]{x^{3}} = \sqrt[3]{5}$$
    или
    $$x = \sqrt[3]{5}$$
    Раскрываем скобочки в правой части ур-ния
    x = 5^1/3

    Получим ответ: x = 5^(1/3)

    Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
    сделаем замену:
    $$z = x$$
    тогда ур-ние будет таким:
    $$z^{3} = 5$$
    Любое комплексное число можно представить так:
    $$z = r e^{i p}$$
    подставляем в уравнение
    $$r^{3} e^{3 i p} = 5$$
    где
    $$r = \sqrt[3]{5}$$
    - модуль комплексного числа
    Подставляем r:
    $$e^{3 i p} = 1$$
    Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
    $$i \sin{\left (3 p \right )} + \cos{\left (3 p \right )} = 1$$
    значит
    $$\cos{\left (3 p \right )} = 1$$
    и
    $$\sin{\left (3 p \right )} = 0$$
    тогда
    $$p = \frac{2 \pi}{3} N$$
    где N=0,1,2,3,...
    Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
    Значит, решением будет для z:
    $$z_{1} = \sqrt[3]{5}$$
    $$z_{2} = - \frac{\sqrt[3]{5}}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2} \sqrt[3]{5}$$
    $$z_{3} = - \frac{\sqrt[3]{5}}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \sqrt[3]{5}$$
    делаем обратную замену
    $$z = x$$
    $$x = z$$

    Тогда, окончательный ответ:
    $$x_{1} = \sqrt[3]{5}$$
    $$x_{2} = - \frac{\sqrt[3]{5}}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2} \sqrt[3]{5}$$
    $$x_{3} = - \frac{\sqrt[3]{5}}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \sqrt[3]{5}$$
    График
    [LaTeX]
    Быстрый ответ
    [LaTeX]
         3 ___
    x1 = \/ 5 
    $$x_{1} = \sqrt[3]{5}$$
           3 ___       ___ 3 ___
           \/ 5    I*\/ 3 *\/ 5 
    x2 = - ----- - -------------
             2           2      
    $$x_{2} = - \frac{\sqrt[3]{5}}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2} \sqrt[3]{5}$$
           3 ___       ___ 3 ___
           \/ 5    I*\/ 3 *\/ 5 
    x3 = - ----- + -------------
             2           2      
    $$x_{3} = - \frac{\sqrt[3]{5}}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \sqrt[3]{5}$$
    Численный ответ
    [LaTeX]
    x1 = -0.854987973338 + 1.48088260968*i
    x2 = -0.854987973338 - 1.48088260968*i
    x3 = 1.70997594668000