Решите уравнение x^4=80 (х в степени 4 равно 80) - Найдите корень уравнения подробно по-шагам. [Есть ОТВЕТ!]

x^4=80 (уравнение)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение😉

Уравнение с неизвестным  :

Искать численное решение на промежутке:

[, ]

    Найду корень уравнения: x^4=80

    Решение

    Вы ввели [src]
     4     
    x  = 80
    $$x^{4} = 80$$
    Подробное решение
    Дано уравнение
    $$x^{4} = 80$$
    Т.к. степень в ур-нии равна = 4 - содержит чётное число 4 в числителе, то
    ур-ние будет иметь два действительных корня.
    Извлечём корень 4-й степени из обеих частей ур-ния:
    Получим:
    $$\sqrt[4]{x^{4}} = \sqrt[4]{80}$$
    $$\sqrt[4]{x^{4}} = \left(-1\right) \sqrt[4]{80}$$
    или
    $$x = 2 \sqrt[4]{5}$$
    $$x = - 2 \sqrt[4]{5}$$
    Раскрываем скобочки в правой части ур-ния
    x = 2*5^1/4

    Получим ответ: x = 2*5^(1/4)
    Раскрываем скобочки в правой части ур-ния
    x = -2*5^1/4

    Получим ответ: x = -2*5^(1/4)
    или
    $$x_{1} = - 2 \sqrt[4]{5}$$
    $$x_{2} = 2 \sqrt[4]{5}$$

    Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
    сделаем замену:
    $$z = x$$
    тогда ур-ние будет таким:
    $$z^{4} = 80$$
    Любое комплексное число можно представить так:
    $$z = r e^{i p}$$
    подставляем в уравнение
    $$r^{4} e^{4 i p} = 80$$
    где
    $$r = 2 \sqrt[4]{5}$$
    - модуль комплексного числа
    Подставляем r:
    $$e^{4 i p} = 1$$
    Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
    $$i \sin{\left(4 p \right)} + \cos{\left(4 p \right)} = 1$$
    значит
    $$\cos{\left(4 p \right)} = 1$$
    и
    $$\sin{\left(4 p \right)} = 0$$
    тогда
    $$p = \frac{\pi N}{2}$$
    где N=0,1,2,3,...
    Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
    Значит, решением будет для z:
    $$z_{1} = - 2 \sqrt[4]{5}$$
    $$z_{2} = 2 \sqrt[4]{5}$$
    $$z_{3} = - 2 \sqrt[4]{5} i$$
    $$z_{4} = 2 \sqrt[4]{5} i$$
    делаем обратную замену
    $$z = x$$
    $$x = z$$

    Тогда, окончательный ответ:
    $$x_{1} = - 2 \sqrt[4]{5}$$
    $$x_{2} = 2 \sqrt[4]{5}$$
    $$x_{3} = - 2 \sqrt[4]{5} i$$
    $$x_{4} = 2 \sqrt[4]{5} i$$
    График
    Быстрый ответ [src]
            4 ___
    x1 = -2*\/ 5 
    $$x_{1} = - 2 \sqrt[4]{5}$$
           4 ___
    x2 = 2*\/ 5 
    $$x_{2} = 2 \sqrt[4]{5}$$
              4 ___
    x3 = -2*I*\/ 5 
    $$x_{3} = - 2 \sqrt[4]{5} i$$
             4 ___
    x4 = 2*I*\/ 5 
    $$x_{4} = 2 \sqrt[4]{5} i$$
    Сумма и произведение корней [src]
    сумма
        4 ___     4 ___       4 ___       4 ___
    - 2*\/ 5  + 2*\/ 5  - 2*I*\/ 5  + 2*I*\/ 5 
    $$\left(\left(- 2 \sqrt[4]{5} + 2 \sqrt[4]{5}\right) - 2 \sqrt[4]{5} i\right) + 2 \sqrt[4]{5} i$$
    =
    0
    $$0$$
    произведение
       4 ___   4 ___      4 ___     4 ___
    -2*\/ 5 *2*\/ 5 *-2*I*\/ 5 *2*I*\/ 5 
    $$2 \sqrt[4]{5} i - 2 \sqrt[4]{5} \cdot 2 \sqrt[4]{5} \left(- 2 \sqrt[4]{5} i\right)$$
    =
    -80
    $$-80$$
    Численный ответ [src]
    x1 = -2.99069756244244
    x2 = 2.99069756244244
    x3 = -2.99069756244244*i
    x4 = 2.99069756244244*i
    График
    x^4=80 (уравнение) /media/krcore-image-pods/hash/equation/5/55/ef8a74dfc3bef7404fcc94d95c8f2.png
    ×

    Где учитесь?

    Для правильного составления решения, укажите: