x^3-49=0 (уравнение)

Уравнение с неизвестным  :

Искать численное решение на промежутке [, ]

    Найду корень уравнения: x^3-49=0

    Решение

    Вы ввели
    [LaTeX]
     3         
    x  - 49 = 0
    $$x^{3} - 49 = 0$$
    Подробное решение
    [LaTeX]
    Дано уравнение
    $$x^{3} - 49 = 0$$
    Т.к. степень в ур-нии равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
    ур-ние будет иметь один действительный корень.
    Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
    Получим:
    $$\sqrt[3]{x^{3}} = \sqrt[3]{49}$$
    или
    $$x = 7^{\frac{2}{3}}$$
    Раскрываем скобочки в правой части ур-ния
    x = 7^2/3

    Получим ответ: x = 7^(2/3)

    Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
    сделаем замену:
    $$z = x$$
    тогда ур-ние будет таким:
    $$z^{3} = 49$$
    Любое комплексное число можно представить так:
    $$z = r e^{i p}$$
    подставляем в уравнение
    $$r^{3} e^{3 i p} = 49$$
    где
    $$r = 7^{\frac{2}{3}}$$
    - модуль комплексного числа
    Подставляем r:
    $$e^{3 i p} = 1$$
    Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
    $$i \sin{\left (3 p \right )} + \cos{\left (3 p \right )} = 1$$
    значит
    $$\cos{\left (3 p \right )} = 1$$
    и
    $$\sin{\left (3 p \right )} = 0$$
    тогда
    $$p = \frac{2 \pi}{3} N$$
    где N=0,1,2,3,...
    Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
    Значит, решением будет для z:
    $$z_{1} = 7^{\frac{2}{3}}$$
    $$z_{2} = - \frac{7^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2} 7^{\frac{2}{3}}$$
    $$z_{3} = - \frac{7^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} 7^{\frac{2}{3}}$$
    делаем обратную замену
    $$z = x$$
    $$x = z$$

    Тогда, окончательный ответ:
    $$x_{1} = 7^{\frac{2}{3}}$$
    $$x_{2} = - \frac{7^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2} 7^{\frac{2}{3}}$$
    $$x_{3} = - \frac{7^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} 7^{\frac{2}{3}}$$
    График
    [LaTeX]
    Быстрый ответ
    [LaTeX]
          2/3
    x1 = 7   
    $$x_{1} = 7^{\frac{2}{3}}$$
            2/3       ___  2/3
           7      I*\/ 3 *7   
    x2 = - ---- - ------------
            2          2      
    $$x_{2} = - \frac{7^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2} 7^{\frac{2}{3}}$$
            2/3       ___  2/3
           7      I*\/ 3 *7   
    x3 = - ---- + ------------
            2          2      
    $$x_{3} = - \frac{7^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} 7^{\frac{2}{3}}$$
    Численный ответ
    [LaTeX]
    x1 = -1.82965285501 - 3.16905170509*i
    x2 = 3.65930571002000
    x3 = -1.82965285501 + 3.16905170509*i