График функции y = (9-x^2)^4

Вы ввели

               4
       /     2\ 
f(x) = \9 - x / 

$$f{\left (x \right )} = \left(- x^{2} + 9\right)^{4}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\left(- x^{2} + 9\right)^{4} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 3$$
Численное решение
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 3$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (9 - x^2)^4.
$$\left(- 0 + 9\right)^{4}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 6561$$
Точка:

(0, 6561)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- 8 x \left(- x^{2} + 9\right)^{3} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 3$$
Зн. экстремумы в точках:

(-3, 0)

(0, 6561)

(3, 0)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{3} = -3$$
$$x_{3} = 3$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{3} = 0$$
Убывает на промежутках

[-3, 0] U [3, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, -3] U [0, 3]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$8 \left(x^{2} - 9\right)^{2} \left(7 x^{2} - 9\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 3$$
$$x_{3} = - \frac{3 \sqrt{7}}{7}$$
$$x_{4} = \frac{3 \sqrt{7}}{7}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

(-oo, -3*sqrt(7)/7] U [3*sqrt(7)/7, oo)

Выпуклая на промежутках

[-3*sqrt(7)/7, 3*sqrt(7)/7]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \left(- x^{2} + 9\right)^{4} = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty} \left(- x^{2} + 9\right)^{4} = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (9 - x^2)^4, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(- x^{2} + 9\right)^{4}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(- x^{2} + 9\right)^{4}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\left(- x^{2} + 9\right)^{4} = \left(- x^{2} + 9\right)^{4}$$
- Да
$$\left(- x^{2} + 9\right)^{4} = - \left(- x^{2} + 9\right)^{4}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной