График функции y = -x^3+4*x+1

Вы ввели

          3          
f(x) = - x  + 4*x + 1

$$f{\left(x \right)} = \left(- x^{3} + 4 x\right) + 1$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\left(- x^{3} + 4 x\right) + 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{4}{3 \sqrt[3]{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{687} i}{18}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{687} i}{18}}$$
Численное решение
$$x_{1} = -0.254101688365052$$
$$x_{2} = -1.8608058531117$$
$$x_{3} = 2.11490754147676$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в -x^3 + 4*x + 1.
$$\left(- 0^{3} + 0 \cdot 4\right) + 1$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 1$$
Точка:

(0, 1)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$4 - 3 x^{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$$
Зн. экстремумы в точках:

      ___           ___ 
 -2*\/ 3       16*\/ 3  
(--------, 1 - --------)
    3             9     

     ___           ___ 
 2*\/ 3       16*\/ 3  
(-------, 1 + --------)
    3            9     

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$$
Убывает на промежутках
$$\left[- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{3}\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{2 \sqrt{3}}{3}\right] \cup \left[\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \infty\right)$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- 6 x = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[0, \infty\right)$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(- x^{3} + 4 x\right) + 1\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(- x^{3} + 4 x\right) + 1\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции -x^3 + 4*x + 1, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- x^{3} + 4 x\right) + 1}{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- x^{3} + 4 x\right) + 1}{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\left(- x^{3} + 4 x\right) + 1 = x^{3} - 4 x + 1$$
- Нет
$$\left(- x^{3} + 4 x\right) + 1 = - x^{3} + 4 x - 1$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График