График функции y = x/(x^2+10)

Вы ввели

          x   
f(x) = -------
        2     
       x  + 10

$$f{\left (x \right )} = \frac{x}{x^{2} + 10}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x}{x^{2} + 10} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x/(x^2 + 10).
$$\frac{0}{0^{2} + 10}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- \frac{2 x^{2}}{\left(x^{2} + 10\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 10} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \sqrt{10}$$
$$x_{2} = \sqrt{10}$$
Зн. экстремумы в точках:

             ____  
    ____  -\/ 10   
(-\/ 10, --------)
             20    

           ____ 
   ____  \/ 10  
(\/ 10, ------)
           20   

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = - \sqrt{10}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = \sqrt{10}$$
Убывает на промежутках

[-sqrt(10), sqrt(10)]

Возрастает на промежутках

(-oo, -sqrt(10)] U [sqrt(10), oo)

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{2 x}{\left(x^{2} + 10\right)^{2}} \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} + 10} - 3\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \sqrt{30}$$
$$x_{3} = \sqrt{30}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[-sqrt(30), 0] U [sqrt(30), oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, -sqrt(30)] U [0, sqrt(30)]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{x^{2} + 10}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{x^{2} + 10}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x/(x^2 + 10), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x^{2} + 10} = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2} + 10} = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x}{x^{2} + 10} = - \frac{x}{x^{2} + 10}$$
- Нет
$$\frac{x}{x^{2} + 10} = - \frac{-1 x}{x^{2} + 10}$$
- Да
значит, функция
является
нечётной