График функции y = (3/(2-x)^2+2/(x^2-4))*(x-2)^2-5*x/(x+2)

Вы ввели

       /   3         2   \        2    5*x 
f(x) = |-------- + ------|*(x - 2)  - -----
       |       2    2    |            x + 2
       \(2 - x)    x  - 4/                 

$$f{\left (x \right )} = - \frac{5 x}{x + 2} + \left(x - 2\right)^{2} \left(\frac{2}{x^{2} - 4} + \frac{3}{\left(- x + 2\right)^{2}}\right)$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$- \frac{5 x}{x + 2} + \left(x - 2\right)^{2} \left(\frac{2}{x^{2} - 4} + \frac{3}{\left(- x + 2\right)^{2}}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Численное решение
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = -2$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (3/(2 - x)^2 + 2/(x^2 - 4))*(x - 2)^2 - 5*x/(x + 2).
$$- 0 + \left(-2\right)^{2} \left(\frac{2}{-4 + 0^{2}} + \frac{3}{\left(- 0 + 2\right)^{2}}\right)$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 1$$
Точка:

(0, 1)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =$$
Первая производная
$$\frac{5 x}{\left(x + 2\right)^{2}} + \left(x - 2\right)^{2} \left(- \frac{4 x}{\left(x^{2} - 4\right)^{2}} + \frac{- 6 x + 12}{\left(- x + 2\right)^{4}}\right) + \left(2 x - 4\right) \left(\frac{2}{x^{2} - 4} + \frac{3}{\left(- x + 2\right)^{2}}\right) - \frac{5}{x + 2} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =$$
Вторая производная
$$2 \left(- \frac{5 x}{\left(x + 2\right)^{3}} + \left(x - 2\right)^{2} \left(\frac{8 x^{2}}{\left(x^{2} - 4\right)^{3}} - \frac{2}{\left(x^{2} - 4\right)^{2}} + \frac{9}{\left(x - 2\right)^{4}}\right) - 4 \left(x - 2\right) \left(\frac{2 x}{\left(x^{2} - 4\right)^{2}} + \frac{3}{\left(x - 2\right)^{3}}\right) + \frac{2}{x^{2} - 4} + \frac{5}{\left(x + 2\right)^{2}} + \frac{3}{\left(x - 2\right)^{2}}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{5 x}{x + 2} + \left(x - 2\right)^{2} \left(\frac{2}{x^{2} - 4} + \frac{3}{\left(- x + 2\right)^{2}}\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{5 x}{x + 2} + \left(x - 2\right)^{2} \left(\frac{2}{x^{2} - 4} + \frac{3}{\left(- x + 2\right)^{2}}\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (3/(2 - x)^2 + 2/(x^2 - 4))*(x - 2)^2 - 5*x/(x + 2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(- \frac{5 x}{x + 2} + \left(x - 2\right)^{2} \left(\frac{2}{x^{2} - 4} + \frac{3}{\left(- x + 2\right)^{2}}\right)\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(- \frac{5 x}{x + 2} + \left(x - 2\right)^{2} \left(\frac{2}{x^{2} - 4} + \frac{3}{\left(- x + 2\right)^{2}}\right)\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$- \frac{5 x}{x + 2} + \left(x - 2\right)^{2} \left(\frac{2}{x^{2} - 4} + \frac{3}{\left(- x + 2\right)^{2}}\right) = \frac{5 x}{- x + 2} + \left(- x - 2\right)^{2} \left(\frac{2}{x^{2} - 4} + \frac{3}{\left(x + 2\right)^{2}}\right)$$
- Нет
$$- \frac{5 x}{x + 2} + \left(x - 2\right)^{2} \left(\frac{2}{x^{2} - 4} + \frac{3}{\left(- x + 2\right)^{2}}\right) = - \frac{5 x}{- x + 2} - \left(- x - 2\right)^{2} \left(\frac{2}{x^{2} - 4} + \frac{3}{\left(x + 2\right)^{2}}\right)$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной