График функции y = (3/(2-x)^2+2/(x^2-4))*(x-2)^2-5*x/(x+2)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
       /   3         2   \        2    5*x 
f(x) = |-------- + ------|*(x - 2)  - -----
       |       2    2    |            x + 2
       \(2 - x)    x  - 4/                 
f(x)=5xx+2+(x2)2(2x24+3(x+2)2)f{\left (x \right )} = - \frac{5 x}{x + 2} + \left(x - 2\right)^{2} \left(\frac{2}{x^{2} - 4} + \frac{3}{\left(- x + 2\right)^{2}}\right)
График функции
0-40-30-20-1010203040-1010
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
x1=2x_{1} = -2
x2=2x_{2} = 2
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
5xx+2+(x2)2(2x24+3(x+2)2)=0- \frac{5 x}{x + 2} + \left(x - 2\right)^{2} \left(\frac{2}{x^{2} - 4} + \frac{3}{\left(- x + 2\right)^{2}}\right) = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Численное решение
x1=2x_{1} = 2
x2=2x_{2} = -2
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (3/(2 - x)^2 + 2/(x^2 - 4))*(x - 2)^2 - 5*x/(x + 2).
0+(2)2(24+02+3(0+2)2)- 0 + \left(-2\right)^{2} \left(\frac{2}{-4 + 0^{2}} + \frac{3}{\left(- 0 + 2\right)^{2}}\right)
Результат:
f(0)=1f{\left (0 \right )} = 1
Точка:
(0, 1)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
5x(x+2)2+(x2)2(4x(x24)2+6x+12(x+2)4)+(2x4)(2x24+3(x+2)2)5x+2=0\frac{5 x}{\left(x + 2\right)^{2}} + \left(x - 2\right)^{2} \left(- \frac{4 x}{\left(x^{2} - 4\right)^{2}} + \frac{- 6 x + 12}{\left(- x + 2\right)^{4}}\right) + \left(2 x - 4\right) \left(\frac{2}{x^{2} - 4} + \frac{3}{\left(- x + 2\right)^{2}}\right) - \frac{5}{x + 2} = 0
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =
Вторая производная
2(5x(x+2)3+(x2)2(8x2(x24)32(x24)2+9(x2)4)4(x2)(2x(x24)2+3(x2)3)+2x24+5(x+2)2+3(x2)2)=02 \left(- \frac{5 x}{\left(x + 2\right)^{3}} + \left(x - 2\right)^{2} \left(\frac{8 x^{2}}{\left(x^{2} - 4\right)^{3}} - \frac{2}{\left(x^{2} - 4\right)^{2}} + \frac{9}{\left(x - 2\right)^{4}}\right) - 4 \left(x - 2\right) \left(\frac{2 x}{\left(x^{2} - 4\right)^{2}} + \frac{3}{\left(x - 2\right)^{3}}\right) + \frac{2}{x^{2} - 4} + \frac{5}{\left(x + 2\right)^{2}} + \frac{3}{\left(x - 2\right)^{2}}\right) = 0
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Вертикальные асимптоты
Есть:
x1=2x_{1} = -2
x2=2x_{2} = 2
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limx(5xx+2+(x2)2(2x24+3(x+2)2))=0\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{5 x}{x + 2} + \left(x - 2\right)^{2} \left(\frac{2}{x^{2} - 4} + \frac{3}{\left(- x + 2\right)^{2}}\right)\right) = 0
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=0y = 0
limx(5xx+2+(x2)2(2x24+3(x+2)2))=0\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{5 x}{x + 2} + \left(x - 2\right)^{2} \left(\frac{2}{x^{2} - 4} + \frac{3}{\left(- x + 2\right)^{2}}\right)\right) = 0
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=0y = 0
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (3/(2 - x)^2 + 2/(x^2 - 4))*(x - 2)^2 - 5*x/(x + 2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(1x(5xx+2+(x2)2(2x24+3(x+2)2)))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(- \frac{5 x}{x + 2} + \left(x - 2\right)^{2} \left(\frac{2}{x^{2} - 4} + \frac{3}{\left(- x + 2\right)^{2}}\right)\right)\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
limx(1x(5xx+2+(x2)2(2x24+3(x+2)2)))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(- \frac{5 x}{x + 2} + \left(x - 2\right)^{2} \left(\frac{2}{x^{2} - 4} + \frac{3}{\left(- x + 2\right)^{2}}\right)\right)\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
5xx+2+(x2)2(2x24+3(x+2)2)=5xx+2+(x2)2(2x24+3(x+2)2)- \frac{5 x}{x + 2} + \left(x - 2\right)^{2} \left(\frac{2}{x^{2} - 4} + \frac{3}{\left(- x + 2\right)^{2}}\right) = \frac{5 x}{- x + 2} + \left(- x - 2\right)^{2} \left(\frac{2}{x^{2} - 4} + \frac{3}{\left(x + 2\right)^{2}}\right)
- Нет
5xx+2+(x2)2(2x24+3(x+2)2)=5xx+2(x2)2(2x24+3(x+2)2)- \frac{5 x}{x + 2} + \left(x - 2\right)^{2} \left(\frac{2}{x^{2} - 4} + \frac{3}{\left(- x + 2\right)^{2}}\right) = - \frac{5 x}{- x + 2} - \left(- x - 2\right)^{2} \left(\frac{2}{x^{2} - 4} + \frac{3}{\left(x + 2\right)^{2}}\right)
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной