Интеграл asin(x)+acos(x) (dx)

Вы ввели

  1                       
  /                       
 |                        
 |  (asin(x) + acos(x)) dx
 |                        
/                         
0                         

$$\int\limits_{0}^{1} \left(\operatorname{acos}{\left(x \right)} + \operatorname{asin}{\left(x \right)}\right)\, dx$$

Подробное решение

1. Интегрируем почленно:

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left (x \right )} = \operatorname{acos}{\left (x \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = 1$ dx.

      Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = - \frac{1}{\sqrt{- x^{2} + 1}}$ dx.

      Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \frac{x}{\sqrt{- x^{2} + 1}}\, dx = - \int \frac{x}{\sqrt{- x^{2} + 1}}\, dx$

      1. пусть $u = - x^{2} + 1$.

         Тогда пусть $du = - 2 x dx$ и подставим $- \frac{du}{2}$:

         $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

            Таким образом, результат будет: $- \sqrt{u}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \sqrt{- x^{2} + 1}$

      Таким образом, результат будет: $\sqrt{- x^{2} + 1}$

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left (x \right )} = \operatorname{asin}{\left (x \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = 1$ dx.

      Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{1}{\sqrt{- x^{2} + 1}}$ dx.

      Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. пусть $u = - x^{2} + 1$.

      Тогда пусть $du = - 2 x dx$ и подставим $- \frac{du}{2}$:

      $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

         Таким образом, результат будет: $- \sqrt{u}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \sqrt{- x^{2} + 1}$

   Результат есть: $x \operatorname{acos}{\left (x \right )} + x \operatorname{asin}{\left (x \right )}$

2. Теперь упростить:

   $x \left(\operatorname{acos}{\left (x \right )} + \operatorname{asin}{\left (x \right )}\right)$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $x \left(\operatorname{acos}{\left (x \right )} + \operatorname{asin}{\left (x \right )}\right)+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$x \left(\operatorname{acos}{\left (x \right )} + \operatorname{asin}{\left (x \right )}\right)+ \mathrm{constant}$

Ответ

pi
--
2 

$$\frac{\pi}{2}$$

=

=

pi
--
2 

$$\frac{\pi}{2}$$

Численный ответ

1.5707963267949

Ответ (Неопределённый)

  /                                                  
 |                                                   
 | (asin(x) + acos(x)) dx = C + x*acos(x) + x*asin(x)
 |                                                   
/                                                    

$$\int \left(\operatorname{acos}{\left(x \right)} + \operatorname{asin}{\left(x \right)}\right)\, dx = C + x \operatorname{acos}{\left(x \right)} + x \operatorname{asin}{\left(x \right)}$$

График