Интеграл (4*x-7)^8 (dx)

Вы ввели

  1              
  /              
 |               
 |           8   
 |  (4*x - 7)  dx
 |               
/                
0                

$$\int\limits_{0}^{1} \left(4 x - 7\right)^{8}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 4 x - 7$.

      Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$:

      $\int \frac{u^{8}}{16}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{u^{8}}{4}\, du = \frac{\int u^{8}\, du}{4}$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{u^{9}}{36}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{\left(4 x - 7\right)^{9}}{36}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(4 x - 7\right)^{8} = 65536 x^{8} - 917504 x^{7} + 5619712 x^{6} - 19668992 x^{5} + 43025920 x^{4} - 60236288 x^{3} + 52706752 x^{2} - 26353376 x + 5764801$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 65536 x^{8}\, dx = 65536 \int x^{8}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{65536 x^{9}}{9}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 917504 x^{7}\right)\, dx = - 917504 \int x^{7}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Таким образом, результат будет: $- 114688 x^{8}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 5619712 x^{6}\, dx = 5619712 \int x^{6}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

         Таким образом, результат будет: $802816 x^{7}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 19668992 x^{5}\right)\, dx = - 19668992 \int x^{5}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{9834496 x^{6}}{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 43025920 x^{4}\, dx = 43025920 \int x^{4}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Таким образом, результат будет: $8605184 x^{5}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 60236288 x^{3}\right)\, dx = - 60236288 \int x^{3}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $- 15059072 x^{4}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 52706752 x^{2}\, dx = 52706752 \int x^{2}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{52706752 x^{3}}{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 26353376 x\right)\, dx = - 26353376 \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $- 13176688 x^{2}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 5764801\, dx = 5764801 x$

      Результат есть: $\frac{65536 x^{9}}{9} - 114688 x^{8} + 802816 x^{7} - \frac{9834496 x^{6}}{3} + 8605184 x^{5} - 15059072 x^{4} + \frac{52706752 x^{3}}{3} - 13176688 x^{2} + 5764801 x$

2. Теперь упростить:

   $\frac{\left(4 x - 7\right)^{9}}{36}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{\left(4 x - 7\right)^{9}}{36}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{\left(4 x - 7\right)^{9}}{36}+ \mathrm{constant}$

Ответ

10083481/9

$$\frac{10083481}{9}$$

=

=

10083481/9

$$\frac{10083481}{9}$$

Численный ответ

1120386.77777778

Ответ (Неопределённый)

  /                              
 |                              9
 |          8          (4*x - 7) 
 | (4*x - 7)  dx = C + ----------
 |                         36    
/                                

$$\int \left(4 x - 7\right)^{8}\, dx = C + \frac{\left(4 x - 7\right)^{9}}{36}$$

График