Интеграл 4^(2*x-1) (dx)

Вы ввели

  1            
  /            
 |             
 |   2*x - 1   
 |  4        dx
 |             
/              
0              

$$\int\limits_{0}^{1} 4^{2 x - 1}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 2 x - 1$.

      Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{4^{u}}{4}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{4^{u}}{2}\, du = \frac{\int 4^{u}\, du}{2}$

         1. Интеграл экспоненциальной функции равен ему же, деленному на натуральный логарифм основания.

            $\int 4^{u}\, du = \frac{4^{u}}{\log{\left(4 \right)}}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{4^{u}}{2 \log{\left(4 \right)}}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{4^{2 x - 1}}{2 \log{\left(4 \right)}}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $4^{2 x - 1} = \frac{4^{2 x}}{4}$

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{4^{2 x}}{4}\, dx = \frac{\int 4^{2 x}\, dx}{4}$

      1. пусть $u = 2 x$.

         Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{4^{u}}{4}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{4^{u}}{2}\, du = \frac{\int 4^{u}\, du}{2}$

            1. Интеграл экспоненциальной функции равен ему же, деленному на натуральный логарифм основания.

               $\int 4^{u}\, du = \frac{4^{u}}{\log{\left(4 \right)}}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{4^{u}}{2 \log{\left(4 \right)}}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{4^{2 x}}{2 \log{\left(4 \right)}}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{4^{2 x}}{8 \log{\left(4 \right)}}$

   Метод #3

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $4^{2 x - 1} = \frac{4^{2 x}}{4}$

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{4^{2 x}}{4}\, dx = \frac{\int 4^{2 x}\, dx}{4}$

      1. пусть $u = 2 x$.

         Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{4^{u}}{4}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{4^{u}}{2}\, du = \frac{\int 4^{u}\, du}{2}$

            1. Интеграл экспоненциальной функции равен ему же, деленному на натуральный логарифм основания.

               $\int 4^{u}\, du = \frac{4^{u}}{\log{\left(4 \right)}}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{4^{u}}{2 \log{\left(4 \right)}}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{4^{2 x}}{2 \log{\left(4 \right)}}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{4^{2 x}}{8 \log{\left(4 \right)}}$

2. Теперь упростить:

   $\frac{2^{4 x - 4}}{\log{\left(2 \right)}}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{2^{4 x - 4}}{\log{\left(2 \right)}}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{2^{4 x - 4}}{\log{\left(2 \right)}}+ \mathrm{constant}$

Ответ

    15   
---------
16*log(2)

$$\frac{15}{16 \log{\left(2 \right)}}$$

=

=

    15   
---------
16*log(2)

$$\frac{15}{16 \log{\left(2 \right)}}$$

Численный ответ

1.3525266008334

Ответ (Неопределённый)

  /                          
 |                    2*x - 1
 |  2*x - 1          4       
 | 4        dx = C + --------
 |                   2*log(4)
/                            

$$\int 4^{2 x - 1}\, dx = \frac{4^{2 x - 1}}{2 \log{\left(4 \right)}} + C$$

График