Решение интегралов/ Определённый интеграл

Интеграл dx/(x^2+2) (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

∫d
Примеры

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1          
  /          
 |           
 |    1      
 |  ------ dx
 |   2       
 |  x  + 2   
 |           
/            
0
    $$\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{2} + 2}\, dx$$
    Подробное решение
    Дан интеграл:
      /         
 |          
 |   1      
 | ------ dx
 |  2       
 | x  + 2   
 |          
/
    Перепишем подинтегральную функцию
      1               1          
------ = --------------------
 2         /           2    \
x  + 2     |/   ___   \     |
           ||-\/ 2    |     |
         2*||-------*x|  + 1|
           \\   2     /     /
    или
      /           
 |            
 |   1        
 | ------ dx  
 |  2        =
 | x  + 2     
 |            
/             
  
      /                   
 |                    
 |        1           
 | ---------------- dx
 |            2       
 | /   ___   \        
 | |-\/ 2    |        
 | |-------*x|  + 1   
 | \   2     /        
 |                    
/                     
----------------------
          2
    В интеграле
      /                   
 |                    
 |        1           
 | ---------------- dx
 |            2       
 | /   ___   \        
 | |-\/ 2    |        
 | |-------*x|  + 1   
 | \   2     /        
 |                    
/                     
----------------------
          2
    сделаем замену
             ___ 
    -x*\/ 2  
v = ---------
        2
    тогда
    интеграл =
      /                   
 |                    
 |   1                
 | ------ dv          
 |      2             
 | 1 + v              
 |                    
/              atan(v)
------------ = -------
     2            2
    делаем обратную замену
      /                                         
 |                                          
 |        1                                 
 | ---------------- dx                      
 |            2                             
 | /   ___   \                              
 | |-\/ 2    |                              
 | |-------*x|  + 1                /    ___\
 | \   2     /             ___     |x*\/ 2 |
 |                       \/ 2 *atan|-------|
/                                  \   2   /
---------------------- = -------------------
          2                       2
    Решением будет:
                  /    ___\
      ___     |x*\/ 2 |
    \/ 2 *atan|-------|
              \   2   /
C + -------------------
             2
    График
    Ответ [src]
      1                       /  ___\
  /               ___     |\/ 2 |
 |              \/ 2 *atan|-----|
 |    1                   \  2  /
 |  ------ dx = -----------------
 |   2                  2        
 |  x  + 2                       
 |                               
/                                
0
    $${{\arctan \left({{1}\over{\sqrt{2}}}\right)}\over{\sqrt{2}}}$$
    Численный ответ [src]
    0.435209875683552
    Ответ (Неопределённый) [src]
                                 /    ___\
  /                  ___     |x*\/ 2 |
 |                 \/ 2 *atan|-------|
 |   1                       \   2   /
 | ------ dx = C + -------------------
 |  2                       2         
 | x  + 2                             
 |                                    
/
    $${{\arctan \left({{x}\over{\sqrt{2}}}\right)}\over{\sqrt{2}}}$$
    Упростить