Интеграл 2*x/(x+1) (dx)

Вы ввели

  1         
  /         
 |          
 |   2*x    
 |  ----- dx
 |  x + 1   
 |          
/           
0           

$$\int_{0}^{1} \frac{2 x}{x + 1}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\frac{2 x}{x + 1} = 2 - \frac{2}{x + 1}$

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int 2\, dx = 2 x$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \frac{2}{x + 1}\, dx = - 2 \int \frac{1}{x + 1}\, dx$

      1. пусть $u = x + 1$.

         Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\log{\left (x + 1 \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- 2 \log{\left (x + 1 \right )}$

   Результат есть: $2 x - 2 \log{\left (x + 1 \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $2 x - 2 \log{\left (x + 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$2 x - 2 \log{\left (x + 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                        
  /                        
 |                         
 |   2*x                   
 |  ----- dx = 2 - 2*log(2)
 |  x + 1                  
 |                         
/                          
0                          

$$2\,\left(1-\log 2\right)$$

Численный ответ

0.613705638880109

Ответ (Неопределённый)

  /                                 
 |                                  
 |  2*x                             
 | ----- dx = C - 2*log(1 + x) + 2*x
 | x + 1                            
 |                                  
/                                   

$$2\,\left(x-\log \left(x+1\right)\right)$$