Интеграл (2*x-5)^7 (dx)

Вы ввели

  1              
  /              
 |               
 |           7   
 |  (2*x - 5)  dx
 |               
/                
0                

$$\int\limits_{0}^{1} \left(2 x - 5\right)^{7}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 2 x - 5$.

      Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{u^{7}}{4}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{u^{7}}{2}\, du = \frac{\int u^{7}\, du}{2}$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int u^{7}\, du = \frac{u^{8}}{8}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{u^{8}}{16}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{\left(2 x - 5\right)^{8}}{16}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(2 x - 5\right)^{7} = 128 x^{7} - 2240 x^{6} + 16800 x^{5} - 70000 x^{4} + 175000 x^{3} - 262500 x^{2} + 218750 x - 78125$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 128 x^{7}\, dx = 128 \int x^{7}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Таким образом, результат будет: $16 x^{8}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 2240 x^{6}\right)\, dx = - 2240 \int x^{6}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

         Таким образом, результат будет: $- 320 x^{7}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 16800 x^{5}\, dx = 16800 \int x^{5}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Таким образом, результат будет: $2800 x^{6}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 70000 x^{4}\right)\, dx = - 70000 \int x^{4}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Таким образом, результат будет: $- 14000 x^{5}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 175000 x^{3}\, dx = 175000 \int x^{3}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $43750 x^{4}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 262500 x^{2}\right)\, dx = - 262500 \int x^{2}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $- 87500 x^{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 218750 x\, dx = 218750 \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $109375 x^{2}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int \left(-78125\right)\, dx = - 78125 x$

      Результат есть: $16 x^{8} - 320 x^{7} + 2800 x^{6} - 14000 x^{5} + 43750 x^{4} - 87500 x^{3} + 109375 x^{2} - 78125 x$

2. Теперь упростить:

   $\frac{\left(2 x - 5\right)^{8}}{16}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{\left(2 x - 5\right)^{8}}{16}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{\left(2 x - 5\right)^{8}}{16}+ \mathrm{constant}$

Ответ

-24004

$$-24004$$

=

=

-24004

$$-24004$$

Численный ответ

-24004.0

Ответ (Неопределённый)

  /                              
 |                              8
 |          7          (2*x - 5) 
 | (2*x - 5)  dx = C + ----------
 |                         16    
/                                

$$\int \left(2 x - 5\right)^{7}\, dx = C + \frac{\left(2 x - 5\right)^{8}}{16}$$

График