Интеграл e^(-x-y) (dx)

Вы ввели

  1           
  /           
 |            
 |   -x - y   
 |  e       dx
 |            
/             
0             

$$\int\limits_{0}^{1} e^{- x - y}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $e^{- x - y} = e^{- x} e^{- y}$

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int e^{- x} e^{- y}\, dx = e^{- y} \int e^{- x}\, dx$

      1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

         Метод #1

         1. пусть $u = - x$.

            Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $- du$:

            $\int e^{u}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \left(- e^{u}\right)\, du = - \int e^{u}\, du$

               1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Таким образом, результат будет: $- e^{u}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- e^{- x}$

         Метод #2

         1. пусть $u = e^{- x}$.

            Тогда пусть $du = - e^{- x} dx$ и подставим $- du$:

            $\int 1\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \left(-1\right)\, du = - \int 1\, du$

               1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                  $\int 1\, du = u$

               Таким образом, результат будет: $- u$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- e^{- x}$

      Таким образом, результат будет: $- e^{- x} e^{- y}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $e^{- x - y} = e^{- x} e^{- y}$

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int e^{- x} e^{- y}\, dx = e^{- y} \int e^{- x}\, dx$

      1. пусть $u = - x$.

         Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $- du$:

         $\int e^{u}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- e^{u}\right)\, du = - \int e^{u}\, du$

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Таким образом, результат будет: $- e^{u}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- e^{- x}$

      Таким образом, результат будет: $- e^{- x} e^{- y}$

2. Теперь упростить:

   $- e^{- x - y}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- e^{- x - y}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- e^{- x - y}+ \mathrm{constant}$

Ответ

   -1 - y    -y
- e       + e  

$$- e^{- y - 1} + e^{- y}$$

=

=

   -1 - y    -y
- e       + e  

$$- e^{- y - 1} + e^{- y}$$

Ответ (Неопределённый)

  /                        
 |                         
 |  -x - y           -x  -y
 | e       dx = C - e  *e  
 |                         
/                          

$$\int e^{- x - y}\, dx = C - e^{- x} e^{- y}$$