Интеграл e^(5*x-1) (dx)

Вы ввели

  1            
  /            
 |             
 |   5*x - 1   
 |  e        dx
 |             
/              
0              

$$\int\limits_{0}^{1} e^{5 x - 1}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $e^{5 x - 1} = \frac{e^{5 x}}{e}$

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{e^{5 x}}{e}\, dx = \frac{\int e^{5 x}\, dx}{e}$

      1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

         Метод #1

         1. пусть $u = 5 x$.

            Тогда пусть $du = 5 dx$ и подставим $\frac{du}{5}$:

            $\int \frac{e^{u}}{25}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{e^{u}}{5}\, du = \frac{\int e^{u}\, du}{5}$

               1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{e^{u}}{5}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{e^{5 x}}{5}$

         Метод #2

         1. пусть $u = e^{5 x}$.

            Тогда пусть $du = 5 e^{5 x} dx$ и подставим $\frac{du}{5}$:

            $\int \frac{1}{25}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{1}{5}\, du = \frac{\int 1\, du}{5}$

               1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                  $\int 1\, du = u$

               Таким образом, результат будет: $\frac{u}{5}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{e^{5 x}}{5}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{e^{5 x}}{5 e}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $e^{5 x - 1} = \frac{e^{5 x}}{e}$

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{e^{5 x}}{e}\, dx = \frac{\int e^{5 x}\, dx}{e}$

      1. пусть $u = 5 x$.

         Тогда пусть $du = 5 dx$ и подставим $\frac{du}{5}$:

         $\int \frac{e^{u}}{25}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{e^{u}}{5}\, du = \frac{\int e^{u}\, du}{5}$

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{e^{u}}{5}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{e^{5 x}}{5}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{e^{5 x}}{5 e}$

2. Теперь упростить:

   $\frac{e^{5 x - 1}}{5}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{e^{5 x - 1}}{5}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{e^{5 x - 1}}{5}+ \mathrm{constant}$

Ответ

   -1    4
  e     e 
- --- + --
   5    5 

$$- \frac{1}{5 e} + \frac{e^{4}}{5}$$

=

=

   -1    4
  e     e 
- --- + --
   5    5 

$$- \frac{1}{5 e} + \frac{e^{4}}{5}$$

Численный ответ

10.8460541183946

Ответ (Неопределённый)

  /                          
 |                    -1  5*x
 |  5*x - 1          e  *e   
 | e        dx = C + --------
 |                      5    
/                            

$$\int e^{5 x - 1}\, dx = C + \frac{e^{5 x}}{5 e}$$

График