Интеграл (cos(x)+3)^2 (dx)

Вы ввели

  1                 
  /                 
 |                  
 |              2   
 |  (cos(x) + 3)  dx
 |                  
/                   
0                   

$$\int\limits_{0}^{1} \left(\cos{\left(x \right)} + 3\right)^{2}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(\cos{\left(x \right)} + 3\right)^{2} = \cos^{2}{\left(x \right)} + 6 \cos{\left(x \right)} + 9$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\cos^{2}{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$

            1. пусть $u = 2 x$.

               Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                  1. Интеграл от косинуса есть синус:

                     $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                  Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

         Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 6 \cos{\left(x \right)}\, dx = 6 \int \cos{\left(x \right)}\, dx$

         1. Интеграл от косинуса есть синус:

            $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

         Таким образом, результат будет: $6 \sin{\left(x \right)}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 9\, dx = 9 x$

      Результат есть: $\frac{19 x}{2} + 6 \sin{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(\cos{\left(x \right)} + 3\right)^{2} = \cos^{2}{\left(x \right)} + 6 \cos{\left(x \right)} + 9$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\cos^{2}{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$

            1. пусть $u = 2 x$.

               Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                  1. Интеграл от косинуса есть синус:

                     $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                  Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

         Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 6 \cos{\left(x \right)}\, dx = 6 \int \cos{\left(x \right)}\, dx$

         1. Интеграл от косинуса есть синус:

            $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

         Таким образом, результат будет: $6 \sin{\left(x \right)}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 9\, dx = 9 x$

      Результат есть: $\frac{19 x}{2} + 6 \sin{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{19 x}{2} + 6 \sin{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{19 x}{2} + 6 \sin{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$

Ответ

       2         2                              
    cos (1)   sin (1)              cos(1)*sin(1)
9 + ------- + ------- + 6*sin(1) + -------------
       2         2                       2      

$$\frac{\cos^{2}{\left(1 \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)}}{2} + \frac{\sin^{2}{\left(1 \right)}}{2} + 6 \sin{\left(1 \right)} + 9$$

=

=

       2         2                              
    cos (1)   sin (1)              cos(1)*sin(1)
9 + ------- + ------- + 6*sin(1) + -------------
       2         2                       2      

$$\frac{\cos^{2}{\left(1 \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)}}{2} + \frac{\sin^{2}{\left(1 \right)}}{2} + 6 \sin{\left(1 \right)} + 9$$

Численный ответ

14.7761502655538

Ответ (Неопределённый)

  /                                                 
 |                                                  
 |             2                     sin(2*x)   19*x
 | (cos(x) + 3)  dx = C + 6*sin(x) + -------- + ----
 |                                      4        2  
/                                                   

$$\int \left(\cos{\left(x \right)} + 3\right)^{2}\, dx = C + \frac{19 x}{2} + 6 \sin{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$$

График