Интеграл cos(x)^3 (dx)

Вы ввели

  1           
  /           
 |            
 |     3      
 |  cos (x) dx
 |            
/             
0             

$$\int\limits_{0}^{1} \cos^{3}{\left(x \right)}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\cos^{3}{\left(x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}$

2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = \sin{\left(x \right)}$.

      Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$:

      $\int \left(1 - u^{2}\right)\, du$

      1. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 1\, du = u$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{3}$

         Результат есть: $- \frac{u^{3}}{3} + u$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)} = - \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

         1. пусть $u = \sin{\left(x \right)}$.

            Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$:

            $\int u^{2}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$

      1. Интеграл от косинуса есть синус:

         $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

      Результат есть: $- \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}$

   Метод #3

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)} = - \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

         1. пусть $u = \sin{\left(x \right)}$.

            Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$:

            $\int u^{2}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$

      1. Интеграл от косинуса есть синус:

         $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

      Результат есть: $- \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ

     3            
  sin (1)         
- ------- + sin(1)
     3            

$$- \frac{\sin^{3}{\left(1 \right)}}{3} + \sin{\left(1 \right)}$$

=

=

     3            
  sin (1)         
- ------- + sin(1)
     3            

$$- \frac{\sin^{3}{\left(1 \right)}}{3} + \sin{\left(1 \right)}$$

Численный ответ

0.642863239277578

Ответ (Неопределённый)

  /                                 
 |                     3            
 |    3             sin (x)         
 | cos (x) dx = C - ------- + sin(x)
 |                     3            
/                                   

$$\int \cos^{3}{\left(x \right)}\, dx = C - \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}$$

График