Интеграл (log(x))/(x^10) (dx)

Вы ввели

  1          
  /          
 |           
 |  log(x)   
 |  ------ dx
 |    10     
 |   x       
 |           
/            
0            

$$\int\limits_{0}^{1} \frac{\log{\left(x \right)}}{x^{10}}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = \log{\left(x \right)}$.

      Тогда пусть $du = \frac{dx}{x}$ и подставим $du$:

      $\int u e^{- 9 u}\, du$

      1. Используем интегрирование по частям:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         пусть $u{\left(u \right)} = u$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{- 9 u}$.

         Затем $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

         Чтобы найти $v{\left(u \right)}$:

         1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

            Метод #1

            1. пусть $u = - 9 u$.

               Тогда пусть $du = - 9 du$ и подставим $- \frac{du}{9}$:

               $\int \frac{e^{u}}{81}\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \left(- \frac{e^{u}}{9}\right)\, du = - \frac{\int e^{u}\, du}{9}$

                  1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Таким образом, результат будет: $- \frac{e^{u}}{9}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $- \frac{e^{- 9 u}}{9}$

            Метод #2

            1. пусть $u = e^{- 9 u}$.

               Тогда пусть $du = - 9 e^{- 9 u} du$ и подставим $- \frac{du}{9}$:

               $\int \frac{1}{81}\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \left(- \frac{1}{9}\right)\, du = - \frac{\int 1\, du}{9}$

                  1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                     $\int 1\, du = u$

                  Таким образом, результат будет: $- \frac{u}{9}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $- \frac{e^{- 9 u}}{9}$

         Теперь решаем под-интеграл.

      2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \frac{e^{- 9 u}}{9}\right)\, du = - \frac{\int e^{- 9 u}\, du}{9}$

         1. пусть $u = - 9 u$.

            Тогда пусть $du = - 9 du$ и подставим $- \frac{du}{9}$:

            $\int \frac{e^{u}}{81}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \left(- \frac{e^{u}}{9}\right)\, du = - \frac{\int e^{u}\, du}{9}$

               1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{e^{u}}{9}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{e^{- 9 u}}{9}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{e^{- 9 u}}{81}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{\log{\left(x \right)}}{9 x^{9}} - \frac{1}{81 x^{9}}$

   Метод #2

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \frac{1}{x^{10}}$.

      Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$.

      Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

         $\int \frac{1}{x^{10}}\, dx = - \frac{1}{9 x^{9}}$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \left(- \frac{1}{9 x^{10}}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{x^{10}}\, dx}{9}$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

         $\int \frac{1}{x^{10}}\, dx = - \frac{1}{9 x^{9}}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{1}{81 x^{9}}$

2. Теперь упростить:

   $\frac{- 9 \log{\left(x \right)} - 1}{81 x^{9}}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{- 9 \log{\left(x \right)} - 1}{81 x^{9}}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{- 9 \log{\left(x \right)} - 1}{81 x^{9}}+ \mathrm{constant}$

Ответ

-oo

$$-\infty$$

=

=

-oo

$$-\infty$$

Численный ответ

-2.94718959768993e+172

Ответ (Неопределённый)

  /                              
 |                               
 | log(x)            1     log(x)
 | ------ dx = C - ----- - ------
 |   10                9       9 
 |  x              81*x     9*x  
 |                               
/                                

$$\int \frac{\log{\left(x \right)}}{x^{10}}\, dx = C - \frac{\log{\left(x \right)}}{9 x^{9}} - \frac{1}{81 x^{9}}$$