Интеграл log(x-3) (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1              
      /              
     |               
     |  log(x - 3) dx
     |               
    /                
    0                
    01log(x3)dx\int_{0}^{1} \log{\left (x - 3 \right )}\, dx
    Подробное решение
    1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть u=x3u = x - 3.

        Тогда пусть du=dxdu = dx и подставим dudu:

        log(u)du\int \log{\left (u \right )}\, du

        1. Используем интегрирование по частям:

          udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          пусть u(u)=log(u)u{\left (u \right )} = \log{\left (u \right )} и пусть dv(u)=1\operatorname{dv}{\left (u \right )} = 1 dx.

          Затем du(u)=1u\operatorname{du}{\left (u \right )} = \frac{1}{u} dx.

          Чтобы найти v(u)v{\left (u \right )}:

          1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            1du=u\int 1\, du = u

          Теперь решаем под-интеграл.

        2. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

          1du=u\int 1\, du = u

        Если сейчас заменить uu ещё в:

        x+(x3)log(x3)+3- x + \left(x - 3\right) \log{\left (x - 3 \right )} + 3

      Метод #2

      1. Используем интегрирование по частям:

        udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        пусть u(x)=log(x3)u{\left (x \right )} = \log{\left (x - 3 \right )} и пусть dv(x)=1\operatorname{dv}{\left (x \right )} = 1 dx.

        Затем du(x)=1x3\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{1}{x - 3} dx.

        Чтобы найти v(x)v{\left (x \right )}:

        1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

          1dx=x\int 1\, dx = x

        Теперь решаем под-интеграл.

      2. Перепишите подынтегральное выражение:

        xx3=1+3x3\frac{x}{x - 3} = 1 + \frac{3}{x - 3}

      3. Интегрируем почленно:

        1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

          1dx=x\int 1\, dx = x

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          3x3dx=31x3dx\int \frac{3}{x - 3}\, dx = 3 \int \frac{1}{x - 3}\, dx

          1. пусть u=x3u = x - 3.

            Тогда пусть du=dxdu = dx и подставим dudu:

            1udu\int \frac{1}{u}\, du

            1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log(u)\log{\left (u \right )}.

            Если сейчас заменить uu ещё в:

            log(x3)\log{\left (x - 3 \right )}

          Таким образом, результат будет: 3log(x3)3 \log{\left (x - 3 \right )}

        Результат есть: x+3log(x3)x + 3 \log{\left (x - 3 \right )}

    2. Теперь упростить:

      x+(x3)log(x3)+3- x + \left(x - 3\right) \log{\left (x - 3 \right )} + 3

    3. Добавляем постоянную интегрирования:

      x+(x3)log(x3)+3+constant- x + \left(x - 3\right) \log{\left (x - 3 \right )} + 3+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    x+(x3)log(x3)+3+constant- x + \left(x - 3\right) \log{\left (x - 3 \right )} + 3+ \mathrm{constant}

    График
    02468-8-6-4-2-1010-1010
    Численный ответ [src]
    (0.909542504884438 + 3.14159265358979j)
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                                              
     |                                               
     | log(x - 3) dx = 3 + C - x + (x - 3)*log(x - 3)
     |                                               
    /                                                
    x+log(x3)(x3)+3-x+\log \left(x-3\right)\,\left(x-3\right)+3