Интеграл log(z-x-y) (dx)

Вы ввели

  1                  
  /                  
 |                   
 |  log(z - x - y) dx
 |                   
/                    
0                    

$$\int_{0}^{1} \log{\left (- y + - x + z \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = - y + - x + z$.

      Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $- du$:

      $\int \log{\left (u \right )}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \log{\left (u \right )}\, du = - \int \log{\left (u \right )}\, du$

         1. Используем интегрирование по частям:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            пусть $u{\left (u \right )} = \log{\left (u \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (u \right )} = 1$ dx.

            Затем $\operatorname{du}{\left (u \right )} = \frac{1}{u}$ dx.

            Чтобы найти $v{\left (u \right )}$:

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int 1\, du = u$

            Теперь решаем под-интеграл.

         2. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 1\, du = u$

         Таким образом, результат будет: $- u \log{\left (u \right )} + u$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- x - y + z - \left(- y + - x + z\right) \log{\left (- y + - x + z \right )}$

   Метод #2

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left (x \right )} = \log{\left (- y + - x + z \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = 1$ dx.

      Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = - \frac{1}{- y + - x + z}$ dx.

      Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \frac{x}{- y + - x + z}\, dx = - \int \frac{x}{- y + - x + z}\, dx$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{x}{- y + - x + z} = \frac{y - z}{x + y - z} - 1$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{y - z}{x + y - z}\, dx = \left(y - z\right) \int \frac{1}{x + y - z}\, dx$

            1. пусть $u = x + y - z$.

               Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\log{\left (x + y - z \right )}$

            Таким образом, результат будет: $\left(y - z\right) \log{\left (x + y - z \right )}$

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int -1\, dx = - x$

         Результат есть: $- x + \left(y - z\right) \log{\left (x + y - z \right )}$

      Таким образом, результат будет: $x - \left(y - z\right) \log{\left (x + y - z \right )}$

2. Теперь упростить:

   $- x - y + z + \left(x + y - z\right) \log{\left (- x - y + z \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- x - y + z + \left(x + y - z\right) \log{\left (- x - y + z \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- x - y + z + \left(x + y - z\right) \log{\left (- x - y + z \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                                                                       
  /                                                                                       
 |                                                                                        
 |  log(z - x - y) dx = -1 + (z - y)*log(y - z) - (z - y)*log(1 + y - z) + log(-1 + z - y)
 |                                                                                        
/                                                                                         
0                                                                                         

$$\int_{0}^{1} \log{\left (- y + - x + z \right )}\, dx = \left(- y + z\right) \log{\left (y - z \right )} - \left(- y + z\right) \log{\left (y - z + 1 \right )} + \log{\left (- y + z - 1 \right )} - 1$$

Ответ (Неопределённый)

  /                                                              
 |                                                               
 | log(z - x - y) dx = C + z - x - y - (z - x - y)*log(z - x - y)
 |                                                               
/                                                                

$$-\left(z-y-x\right)\,\log \left(z-y-x\right)+z-y-x$$