Интеграл -1/(u*(u-1)) (dx)

Вы ввели

  1             
  /             
 |              
 |     -1       
 |  --------- du
 |  u*(u - 1)   
 |              
/               
0               

$$\int_{0}^{1} - \frac{1}{u \left(u - 1\right)}\, du$$

Подробное решение

1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int - \frac{1}{u \left(u - 1\right)}\, du = - \int \frac{1}{u \left(u - 1\right)}\, du$

   1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{1}{u \left(u - 1\right)} = \frac{1}{u - 1} - \frac{1}{u}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. пусть $u = u - 1$.

            Тогда пусть $du = du$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left (u - 1 \right )}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int - \frac{1}{u}\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Таким образом, результат будет: $- \log{\left (u \right )}$

         Результат есть: $- \log{\left (u \right )} + \log{\left (u - 1 \right )}$

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{1}{u \left(u - 1\right)} = \frac{1}{u^{2} - u}$

      2. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{1}{u^{2} - u} = \frac{1}{u - 1} - \frac{1}{u}$

      3. Интегрируем почленно:

         1. пусть $u = u - 1$.

            Тогда пусть $du = du$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left (u - 1 \right )}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int - \frac{1}{u}\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Таким образом, результат будет: $- \log{\left (u \right )}$

         Результат есть: $- \log{\left (u \right )} + \log{\left (u - 1 \right )}$

   Таким образом, результат будет: $\log{\left (u \right )} - \log{\left (u - 1 \right )}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\log{\left (u \right )} - \log{\left (u - 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\log{\left (u \right )} - \log{\left (u - 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                  
  /                  
 |                   
 |     -1            
 |  --------- du = oo
 |  u*(u - 1)        
 |                   
/                    
0                    

$${\it \%a}$$

Численный ответ

88.1814029202124

Ответ (Неопределённый)

  /                                       
 |                                        
 |    -1                                  
 | --------- du = C - log(-1 + u) + log(u)
 | u*(u - 1)                              
 |                                        
/                                         

$$\log u-u$$