Интеграл (1-cos(x))^3 (dx)

Вы ввели

  1                 
  /                 
 |                  
 |              3   
 |  (1 - cos(x))  dx
 |                  
/                   
0                   

$$\int\limits_{0}^{1} \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)^{3}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)^{3} = - \cos^{3}{\left(x \right)} + 3 \cos^{2}{\left(x \right)} - 3 \cos{\left(x \right)} + 1$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \cos^{3}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \cos^{3}{\left(x \right)}\, dx$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\cos^{3}{\left(x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}$

         2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

            Метод #1

            1. пусть $u = \sin{\left(x \right)}$.

               Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$:

               $\int \left(1 - u^{2}\right)\, du$

               1. Интегрируем почленно:

                  1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                     $\int 1\, du = u$

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$

                     1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

                        $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                     Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{3}$

                  Результат есть: $- \frac{u^{3}}{3} + u$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $- \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}$

            Метод #2

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)} = - \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$

            2. Интегрируем почленно:

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \left(- \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

                  1. пусть $u = \sin{\left(x \right)}$.

                     Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$:

                     $\int u^{2}\, du$

                     1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

                        $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                     Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                     $\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$

                  Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$

               1. Интеграл от косинуса есть синус:

                  $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

               Результат есть: $- \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}$

            Метод #3

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)} = - \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$

            2. Интегрируем почленно:

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \left(- \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

                  1. пусть $u = \sin{\left(x \right)}$.

                     Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$:

                     $\int u^{2}\, du$

                     1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

                        $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                     Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                     $\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$

                  Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$

               1. Интеграл от косинуса есть синус:

                  $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

               Результат есть: $- \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3} - \sin{\left(x \right)}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 3 \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx = 3 \int \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\cos^{2}{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$

               1. пусть $u = 2 x$.

                  Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

                  $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                     1. Интеграл от косинуса есть синус:

                        $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                     Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

            Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{3 x}{2} + \frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{4}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 3 \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 3 \int \cos{\left(x \right)}\, dx$

         1. Интеграл от косинуса есть синус:

            $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

         Таким образом, результат будет: $- 3 \sin{\left(x \right)}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      Результат есть: $\frac{5 x}{2} + \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3} - 4 \sin{\left(x \right)} + \frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{4}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)^{3} = - \cos^{3}{\left(x \right)} + 3 \cos^{2}{\left(x \right)} - 3 \cos{\left(x \right)} + 1$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \cos^{3}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \cos^{3}{\left(x \right)}\, dx$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\cos^{3}{\left(x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}$

         2. пусть $u = \sin{\left(x \right)}$.

            Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$:

            $\int \left(1 - u^{2}\right)\, du$

            1. Интегрируем почленно:

               1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                  $\int 1\, du = u$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$

                  1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

                     $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                  Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{3}$

               Результат есть: $- \frac{u^{3}}{3} + u$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3} - \sin{\left(x \right)}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 3 \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx = 3 \int \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\cos^{2}{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$

               1. пусть $u = 2 x$.

                  Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

                  $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                     1. Интеграл от косинуса есть синус:

                        $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                     Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

            Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{3 x}{2} + \frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{4}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 3 \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 3 \int \cos{\left(x \right)}\, dx$

         1. Интеграл от косинуса есть синус:

            $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

         Таким образом, результат будет: $- 3 \sin{\left(x \right)}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      Результат есть: $\frac{5 x}{2} + \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3} - 4 \sin{\left(x \right)} + \frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{4}$

2. Теперь упростить:

   $\frac{5 x}{2} - \frac{15 \sin{\left(x \right)}}{4} + \frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{12}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{5 x}{2} - \frac{15 \sin{\left(x \right)}}{4} + \frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{12}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{5 x}{2} - \frac{15 \sin{\left(x \right)}}{4} + \frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{12}+ \mathrm{constant}$

Ответ

                    3           2           2                                      
               2*sin (1)   3*cos (1)   3*sin (1)      2             3*cos(1)*sin(1)
1 - 3*sin(1) - --------- + --------- + --------- - cos (1)*sin(1) + ---------------
                   3           2           2                               2       

$$- 3 \sin{\left(1 \right)} - \frac{2 \sin^{3}{\left(1 \right)}}{3} - \sin{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(1 \right)} + \frac{3 \cos^{2}{\left(1 \right)}}{2} + \frac{3 \sin{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)}}{2} + 1 + \frac{3 \sin^{2}{\left(1 \right)}}{2}$$

=

=

                    3           2           2                                      
               2*sin (1)   3*cos (1)   3*sin (1)      2             3*cos(1)*sin(1)
1 - 3*sin(1) - --------- + --------- + --------- - cos (1)*sin(1) + ---------------
                   3           2           2                               2       

$$- 3 \sin{\left(1 \right)} - \frac{2 \sin^{3}{\left(1 \right)}}{3} - \sin{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(1 \right)} + \frac{3 \cos^{2}{\left(1 \right)}}{2} + \frac{3 \sin{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)}}{2} + 1 + \frac{3 \sin^{2}{\left(1 \right)}}{2}$$

Численный ответ

0.0146968764179938

Ответ (Неопределённый)

  /                                                            
 |                                      3                      
 |             3                     sin (x)   3*sin(2*x)   5*x
 | (1 - cos(x))  dx = C - 4*sin(x) + ------- + ---------- + ---
 |                                      3          4         2 
/                                                              

$$\int \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)^{3}\, dx = C + \frac{5 x}{2} + \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3} - 4 \sin{\left(x \right)} + \frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{4}$$

График