Интеграл (7*x+5)^6 (dx)

Вы ввели

  1              
  /              
 |               
 |           6   
 |  (7*x + 5)  dx
 |               
/                
0                

$$\int_{0}^{1} \left(7 x + 5\right)^{6}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 7 x + 5$.

      Тогда пусть $du = 7 dx$ и подставим $\frac{du}{7}$:

      $\int u^{6}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int u^{6}\, du = \frac{1}{7} \int u^{6}\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{u^{7}}{49}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{1}{49} \left(7 x + 5\right)^{7}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(7 x + 5\right)^{6} = 117649 x^{6} + 504210 x^{5} + 900375 x^{4} + 857500 x^{3} + 459375 x^{2} + 131250 x + 15625$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 117649 x^{6}\, dx = 117649 \int x^{6}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

         Таким образом, результат будет: $16807 x^{7}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 504210 x^{5}\, dx = 504210 \int x^{5}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Таким образом, результат будет: $84035 x^{6}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 900375 x^{4}\, dx = 900375 \int x^{4}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Таким образом, результат будет: $180075 x^{5}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 857500 x^{3}\, dx = 857500 \int x^{3}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $214375 x^{4}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 459375 x^{2}\, dx = 459375 \int x^{2}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $153125 x^{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 131250 x\, dx = 131250 \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $65625 x^{2}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 15625\, dx = 15625 x$

      Результат есть: $16807 x^{7} + 84035 x^{6} + 180075 x^{5} + 214375 x^{4} + 153125 x^{3} + 65625 x^{2} + 15625 x$

2. Теперь упростить:

   $\frac{1}{49} \left(7 x + 5\right)^{7}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{49} \left(7 x + 5\right)^{7}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{1}{49} \left(7 x + 5\right)^{7}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                       
  /                       
 |                        
 |           6            
 |  (7*x + 5)  dx = 729667
 |                        
/                         
0                         

$$729667$$

Численный ответ

729667.0

Ответ (Неопределённый)

  /                              
 |                              7
 |          6          (7*x + 5) 
 | (7*x + 5)  dx = C + ----------
 |                         49    
/                                

$${{\left(7\,x+5\right)^7}\over{49}}$$