Интеграл 6*(x+4)^5 (dx)

Вы ввели

  1              
  /              
 |               
 |           5   
 |  6*(x + 4)  dx
 |               
/                
0                

$$\int_{0}^{1} 6 \left(x + 4\right)^{5}\, dx$$

Подробное решение

1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int 6 \left(x + 4\right)^{5}\, dx = 6 \int \left(x + 4\right)^{5}\, dx$

   1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть $u = x + 4$.

         Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

         $\int u^{5}\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int u^{5}\, du = \frac{u^{6}}{6}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{1}{6} \left(x + 4\right)^{6}$

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\left(x + 4\right)^{5} = x^{5} + 20 x^{4} + 160 x^{3} + 640 x^{2} + 1280 x + 1024$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int 20 x^{4}\, dx = 20 \int x^{4}\, dx$

            1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

            Таким образом, результат будет: $4 x^{5}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int 160 x^{3}\, dx = 160 \int x^{3}\, dx$

            1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

            Таким образом, результат будет: $40 x^{4}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int 640 x^{2}\, dx = 640 \int x^{2}\, dx$

            1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{640 x^{3}}{3}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int 1280 x\, dx = 1280 \int x\, dx$

            1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            Таким образом, результат будет: $640 x^{2}$

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 1024\, dx = 1024 x$

         Результат есть: $\frac{x^{6}}{6} + 4 x^{5} + 40 x^{4} + \frac{640 x^{3}}{3} + 640 x^{2} + 1024 x$

   Таким образом, результат будет: $\left(x + 4\right)^{6}$

2. Теперь упростить:

   $\left(x + 4\right)^{6}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\left(x + 4\right)^{6}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\left(x + 4\right)^{6}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                      
  /                      
 |                       
 |           5           
 |  6*(x + 4)  dx = 11529
 |                       
/                        
0                        

$$11529$$

Численный ответ

11529.0

Ответ (Неопределённый)

  /                            
 |                             
 |          5                 6
 | 6*(x + 4)  dx = C + (x + 4) 
 |                             
/                              

$$6\,\left({{x^6}\over{6}}+4\,x^5+40\,x^4+{{640\,x^3}\over{3}}+640\,x ^2+1024\,x\right)$$