Интеграл (sin(x)-cos(x))^2 (dx)

Вы ввели

  1                      
  /                      
 |                       
 |                   2   
 |  (sin(x) - cos(x))  dx
 |                       
/                        
0                        

$$\int\limits_{0}^{1} \left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right)^{2}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right)^{2} = \sin^{2}{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\sin^{2}{\left(x \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$

            1. пусть $u = 2 x$.

               Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                  1. Интеграл от косинуса есть синус:

                     $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                  Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

         Результат есть: $\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

         1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

            Метод #1

            1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$.

               Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$:

               $\int u\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \left(- u\right)\, du = - \int u\, du$

                  1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

                     $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                  Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{2}}{2}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$

            Метод #2

            1. пусть $u = \sin{\left(x \right)}$.

               Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$:

               $\int u\, du$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

                  $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $\cos^{2}{\left(x \right)}$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\cos^{2}{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$

            1. пусть $u = 2 x$.

               Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                  1. Интеграл от косинуса есть синус:

                     $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                  Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

         Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

      Результат есть: $x + \cos^{2}{\left(x \right)}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right)^{2} = \sin^{2}{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\sin^{2}{\left(x \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$

            1. пусть $u = 2 x$.

               Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                  1. Интеграл от косинуса есть синус:

                     $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                  Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

         Результат есть: $\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

         1. пусть $u = \cos{\left(x \right)}$.

            Тогда пусть $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ и подставим $- du$:

            $\int u\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \left(- u\right)\, du = - \int u\, du$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

                  $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{2}}{2}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $\cos^{2}{\left(x \right)}$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\cos^{2}{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$

            1. пусть $u = 2 x$.

               Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                  1. Интеграл от косинуса есть синус:

                     $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                  Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

         Результат есть: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$

      Результат есть: $x + \cos^{2}{\left(x \right)}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $x + \cos^{2}{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$x + \cos^{2}{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ

        2           2   
-1 + sin (1) + 2*cos (1)

$$-1 + 2 \cos^{2}{\left(1 \right)} + \sin^{2}{\left(1 \right)}$$

=

=

        2           2   
-1 + sin (1) + 2*cos (1)

$$-1 + 2 \cos^{2}{\left(1 \right)} + \sin^{2}{\left(1 \right)}$$

Численный ответ

0.291926581726429

Ответ (Неопределённый)

  /                                       
 |                                        
 |                  2                 2   
 | (sin(x) - cos(x))  dx = C + x + cos (x)
 |                                        
/                                         

$$\int \left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right)^{2}\, dx = C + x + \cos^{2}{\left(x \right)}$$

График