Интеграл sin(x)^(25) (dx)

Вы ввели

  1            
  /            
 |             
 |     25      
 |  sin  (x) dx
 |             
/              
0              

$$\int_{0}^{1} \sin^{25}{\left (x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\sin^{25}{\left (x \right )} = \left(- \cos^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{12} \sin{\left (x \right )}$

2. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\left(- \cos^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{12} \sin{\left (x \right )} = \sin{\left (x \right )} \cos^{24}{\left (x \right )} - 12 \sin{\left (x \right )} \cos^{22}{\left (x \right )} + 66 \sin{\left (x \right )} \cos^{20}{\left (x \right )} - 220 \sin{\left (x \right )} \cos^{18}{\left (x \right )} + 495 \sin{\left (x \right )} \cos^{16}{\left (x \right )} - 792 \sin{\left (x \right )} \cos^{14}{\left (x \right )} + 924 \sin{\left (x \right )} \cos^{12}{\left (x \right )} - 792 \sin{\left (x \right )} \cos^{10}{\left (x \right )} + 495 \sin{\left (x \right )} \cos^{8}{\left (x \right )} - 220 \sin{\left (x \right )} \cos^{6}{\left (x \right )} + 66 \sin{\left (x \right )} \cos^{4}{\left (x \right )} - 12 \sin{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )}$

3. Интегрируем почленно:

   1. пусть $u = \cos{\left (x \right )}$.

      Тогда пусть $du = - \sin{\left (x \right )} dx$ и подставим $- du$:

      $\int u^{24}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int u^{24}\, du = - \int u^{24}\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int u^{24}\, du = \frac{u^{25}}{25}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{25}}{25}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{1}{25} \cos^{25}{\left (x \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - 12 \sin{\left (x \right )} \cos^{22}{\left (x \right )}\, dx = - 12 \int \sin{\left (x \right )} \cos^{22}{\left (x \right )}\, dx$

      1. пусть $u = \cos{\left (x \right )}$.

         Тогда пусть $du = - \sin{\left (x \right )} dx$ и подставим $- du$:

         $\int u^{22}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int u^{22}\, du = - \int u^{22}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u^{22}\, du = \frac{u^{23}}{23}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{23}}{23}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{23} \cos^{23}{\left (x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{12}{23} \cos^{23}{\left (x \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 66 \sin{\left (x \right )} \cos^{20}{\left (x \right )}\, dx = 66 \int \sin{\left (x \right )} \cos^{20}{\left (x \right )}\, dx$

      1. пусть $u = \cos{\left (x \right )}$.

         Тогда пусть $du = - \sin{\left (x \right )} dx$ и подставим $- du$:

         $\int u^{20}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int u^{20}\, du = - \int u^{20}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u^{20}\, du = \frac{u^{21}}{21}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{21}}{21}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{21} \cos^{21}{\left (x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{22}{7} \cos^{21}{\left (x \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - 220 \sin{\left (x \right )} \cos^{18}{\left (x \right )}\, dx = - 220 \int \sin{\left (x \right )} \cos^{18}{\left (x \right )}\, dx$

      1. пусть $u = \cos{\left (x \right )}$.

         Тогда пусть $du = - \sin{\left (x \right )} dx$ и подставим $- du$:

         $\int u^{18}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int u^{18}\, du = - \int u^{18}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u^{18}\, du = \frac{u^{19}}{19}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{19}}{19}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{19} \cos^{19}{\left (x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{220}{19} \cos^{19}{\left (x \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 495 \sin{\left (x \right )} \cos^{16}{\left (x \right )}\, dx = 495 \int \sin{\left (x \right )} \cos^{16}{\left (x \right )}\, dx$

      1. пусть $u = \cos{\left (x \right )}$.

         Тогда пусть $du = - \sin{\left (x \right )} dx$ и подставим $- du$:

         $\int u^{16}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int u^{16}\, du = - \int u^{16}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u^{16}\, du = \frac{u^{17}}{17}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{17}}{17}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{17} \cos^{17}{\left (x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{495}{17} \cos^{17}{\left (x \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - 792 \sin{\left (x \right )} \cos^{14}{\left (x \right )}\, dx = - 792 \int \sin{\left (x \right )} \cos^{14}{\left (x \right )}\, dx$

      1. пусть $u = \cos{\left (x \right )}$.

         Тогда пусть $du = - \sin{\left (x \right )} dx$ и подставим $- du$:

         $\int u^{14}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int u^{14}\, du = - \int u^{14}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u^{14}\, du = \frac{u^{15}}{15}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{15}}{15}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{15} \cos^{15}{\left (x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{264}{5} \cos^{15}{\left (x \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 924 \sin{\left (x \right )} \cos^{12}{\left (x \right )}\, dx = 924 \int \sin{\left (x \right )} \cos^{12}{\left (x \right )}\, dx$

      1. пусть $u = \cos{\left (x \right )}$.

         Тогда пусть $du = - \sin{\left (x \right )} dx$ и подставим $- du$:

         $\int u^{12}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int u^{12}\, du = - \int u^{12}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u^{12}\, du = \frac{u^{13}}{13}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{13}}{13}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{13} \cos^{13}{\left (x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{924}{13} \cos^{13}{\left (x \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - 792 \sin{\left (x \right )} \cos^{10}{\left (x \right )}\, dx = - 792 \int \sin{\left (x \right )} \cos^{10}{\left (x \right )}\, dx$

      1. пусть $u = \cos{\left (x \right )}$.

         Тогда пусть $du = - \sin{\left (x \right )} dx$ и подставим $- du$:

         $\int u^{10}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int u^{10}\, du = - \int u^{10}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u^{10}\, du = \frac{u^{11}}{11}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{11}}{11}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{11} \cos^{11}{\left (x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $72 \cos^{11}{\left (x \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 495 \sin{\left (x \right )} \cos^{8}{\left (x \right )}\, dx = 495 \int \sin{\left (x \right )} \cos^{8}{\left (x \right )}\, dx$

      1. пусть $u = \cos{\left (x \right )}$.

         Тогда пусть $du = - \sin{\left (x \right )} dx$ и подставим $- du$:

         $\int u^{8}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int u^{8}\, du = - \int u^{8}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{9}}{9}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{9} \cos^{9}{\left (x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- 55 \cos^{9}{\left (x \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - 220 \sin{\left (x \right )} \cos^{6}{\left (x \right )}\, dx = - 220 \int \sin{\left (x \right )} \cos^{6}{\left (x \right )}\, dx$

      1. пусть $u = \cos{\left (x \right )}$.

         Тогда пусть $du = - \sin{\left (x \right )} dx$ и подставим $- du$:

         $\int u^{6}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int u^{6}\, du = - \int u^{6}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{7}}{7}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{7} \cos^{7}{\left (x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{220}{7} \cos^{7}{\left (x \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int 66 \sin{\left (x \right )} \cos^{4}{\left (x \right )}\, dx = 66 \int \sin{\left (x \right )} \cos^{4}{\left (x \right )}\, dx$

      1. пусть $u = \cos{\left (x \right )}$.

         Тогда пусть $du = - \sin{\left (x \right )} dx$ и подставим $- du$:

         $\int u^{4}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int u^{4}\, du = - \int u^{4}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{5}}{5}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{5} \cos^{5}{\left (x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{66}{5} \cos^{5}{\left (x \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - 12 \sin{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (x \right )}\, dx = - 12 \int \sin{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (x \right )}\, dx$

      1. пусть $u = \cos{\left (x \right )}$.

         Тогда пусть $du = - \sin{\left (x \right )} dx$ и подставим $- du$:

         $\int u^{2}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{3}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{3} \cos^{3}{\left (x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $4 \cos^{3}{\left (x \right )}$

   1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

      $\int \sin{\left (x \right )}\, dx = - \cos{\left (x \right )}$

   Результат есть: $- \frac{1}{25} \cos^{25}{\left (x \right )} + \frac{12}{23} \cos^{23}{\left (x \right )} - \frac{22}{7} \cos^{21}{\left (x \right )} + \frac{220}{19} \cos^{19}{\left (x \right )} - \frac{495}{17} \cos^{17}{\left (x \right )} + \frac{264}{5} \cos^{15}{\left (x \right )} - \frac{924}{13} \cos^{13}{\left (x \right )} + 72 \cos^{11}{\left (x \right )} - 55 \cos^{9}{\left (x \right )} + \frac{220}{7} \cos^{7}{\left (x \right )} - \frac{66}{5} \cos^{5}{\left (x \right )} + 4 \cos^{3}{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )}$

4. Теперь упростить:

   $\frac{1}{16900975} \left(- 676039 \cos^{24}{\left (x \right )} + 8817900 \cos^{22}{\left (x \right )} - 53117350 \cos^{20}{\left (x \right )} + 195695500 \cos^{18}{\left (x \right )} - 492116625 \cos^{16}{\left (x \right )} + 892371480 \cos^{14}{\left (x \right )} - 1201269300 \cos^{12}{\left (x \right )} + 1216870200 \cos^{10}{\left (x \right )} - 929553625 \cos^{8}{\left (x \right )} + 531173500 \cos^{6}{\left (x \right )} - 223092870 \cos^{4}{\left (x \right )} + 67603900 \cos^{2}{\left (x \right )} - 16900975\right) \cos{\left (x \right )}$

5. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{16900975} \left(- 676039 \cos^{24}{\left (x \right )} + 8817900 \cos^{22}{\left (x \right )} - 53117350 \cos^{20}{\left (x \right )} + 195695500 \cos^{18}{\left (x \right )} - 492116625 \cos^{16}{\left (x \right )} + 892371480 \cos^{14}{\left (x \right )} - 1201269300 \cos^{12}{\left (x \right )} + 1216870200 \cos^{10}{\left (x \right )} - 929553625 \cos^{8}{\left (x \right )} + 531173500 \cos^{6}{\left (x \right )} - 223092870 \cos^{4}{\left (x \right )} + 67603900 \cos^{2}{\left (x \right )} - 16900975\right) \cos{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{1}{16900975} \left(- 676039 \cos^{24}{\left (x \right )} + 8817900 \cos^{22}{\left (x \right )} - 53117350 \cos^{20}{\left (x \right )} + 195695500 \cos^{18}{\left (x \right )} - 492116625 \cos^{16}{\left (x \right )} + 892371480 \cos^{14}{\left (x \right )} - 1201269300 \cos^{12}{\left (x \right )} + 1216870200 \cos^{10}{\left (x \right )} - 929553625 \cos^{8}{\left (x \right )} + 531173500 \cos^{6}{\left (x \right )} - 223092870 \cos^{4}{\left (x \right )} + 67603900 \cos^{2}{\left (x \right )} - 16900975\right) \cos{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                                                                                                                                                                                     
  /                                                                                                                                                                                                     
 |                                                                                  13             17            5            21         25            23             7             19             15   
 |     25         4194304                   9           3            11      924*cos  (1)   495*cos  (1)   66*cos (1)   22*cos  (1)   cos  (1)   12*cos  (1)   220*cos (1)   220*cos  (1)   264*cos  (1)
 |  sin  (x) dx = -------- - cos(1) - 55*cos (1) + 4*cos (1) + 72*cos  (1) - ------------ - ------------ - ---------- - ----------- - -------- + ----------- + ----------- + ------------ + ------------
 |                16900975                                                        13             17            5             7           25           23            7             19             5      
/                                                                                                                                                                                                       
0                                                                                                                                                                                                       

$${{4194304}\over{16900975}}-{{676039\,\cos ^{25}1-8817900\,\cos ^{23 }1+53117350\,\cos ^{21}1-195695500\,\cos ^{19}1+492116625\,\cos ^{17 }1-892371480\,\cos ^{15}1+1201269300\,\cos ^{13}1-1216870200\,\cos ^{11}1+929553625\,\cos ^91-531173500\,\cos ^71+223092870\,\cos ^51- 67603900\,\cos ^31+16900975\,\cos 1}\over{16900975}}$$

Численный ответ

0.000743706011186276

Ответ (Неопределённый)

  /                                                                                                                                                                                             
 |                                                                          13             17            5            21         25            23             7             19             15   
 |    25                            9           3            11      924*cos  (x)   495*cos  (x)   66*cos (x)   22*cos  (x)   cos  (x)   12*cos  (x)   220*cos (x)   220*cos  (x)   264*cos  (x)
 | sin  (x) dx = C - cos(x) - 55*cos (x) + 4*cos (x) + 72*cos  (x) - ------------ - ------------ - ---------- - ----------- - -------- + ----------- + ----------- + ------------ + ------------
 |                                                                        13             17            5             7           25           23            7             19             5      
/                                                                                                                                                                                               

$$-{{676039\,\cos ^{25}x-8817900\,\cos ^{23}x+53117350\,\cos ^{21}x- 195695500\,\cos ^{19}x+492116625\,\cos ^{17}x-892371480\,\cos ^{15}x [phone]\,\cos ^{13}x-1216870200\,\cos ^{11}x+929553625\,\cos ^9x -531173500\,\cos ^7x+223092870\,\cos ^5x-67603900\,\cos ^3x+16900975 \,\cos x}\over{16900975}}$$