Интеграл 3*cos(x)^(3) (dx)

Вы ввели

  1             
  /             
 |              
 |       3      
 |  3*cos (x) dx
 |              
/               
0               

$$\int\limits_{0}^{1} 3 \cos^{3}{\left(x \right)}\, dx$$

Подробное решение

1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int 3 \cos^{3}{\left(x \right)}\, dx = 3 \int \cos^{3}{\left(x \right)}\, dx$

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\cos^{3}{\left(x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}$

   2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть $u = \sin{\left(x \right)}$.

         Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$:

         $\int \left(1 - u^{2}\right)\, du$

         1. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int 1\, du = u$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{3}$

            Результат есть: $- \frac{u^{3}}{3} + u$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}$

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)} = - \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

            1. пусть $u = \sin{\left(x \right)}$.

               Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$:

               $\int u^{2}\, du$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$

         1. Интеграл от косинуса есть синус:

            $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

         Результат есть: $- \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}$

      Метод #3

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)} = - \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \left(- \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

            1. пусть $u = \sin{\left(x \right)}$.

               Тогда пусть $du = \cos{\left(x \right)} dx$ и подставим $du$:

               $\int u^{2}\, du$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$

         1. Интеграл от косинуса есть синус:

            $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

         Результат есть: $- \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}$

   Таким образом, результат будет: $- \sin^{3}{\left(x \right)} + 3 \sin{\left(x \right)}$

2. Теперь упростить:

   $\left(\cos^{2}{\left(x \right)} + 2\right) \sin{\left(x \right)}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\left(\cos^{2}{\left(x \right)} + 2\right) \sin{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\left(\cos^{2}{\left(x \right)} + 2\right) \sin{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ

     3              
- sin (1) + 3*sin(1)

$$- \sin^{3}{\left(1 \right)} + 3 \sin{\left(1 \right)}$$

=

=

     3              
- sin (1) + 3*sin(1)

$$- \sin^{3}{\left(1 \right)} + 3 \sin{\left(1 \right)}$$

Численный ответ

1.92858971783273

Ответ (Неопределённый)

  /                                     
 |                                      
 |      3                3              
 | 3*cos (x) dx = C - sin (x) + 3*sin(x)
 |                                      
/                                       

$$\int 3 \cos^{3}{\left(x \right)}\, dx = C - \sin^{3}{\left(x \right)} + 3 \sin{\left(x \right)}$$

График