Интеграл 3^(5*x-2) (dx)

Вы ввели

  1            
  /            
 |             
 |   5*x - 2   
 |  3        dx
 |             
/              
0              

$$\int_{0}^{1} 3^{5 x - 2}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 5 x - 2$.

      Тогда пусть $du = 5 dx$ и подставим $\frac{du}{5}$:

      $\int 3^{u}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 3^{u}\, du = \frac{1}{5} \int 3^{u}\, du$

         1. Интеграл экспоненциальной функции равен ему же, деленному на натуральный логарифм основания.

            $\int 3^{u}\, du = \frac{3^{u}}{\log{\left (3 \right )}}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{3^{u}}{5 \log{\left (3 \right )}}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{3^{5 x - 2}}{5 \log{\left (3 \right )}}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $3^{5 x - 2} = \frac{3^{5 x}}{9}$

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{3^{5 x}}{9}\, dx = \frac{1}{9} \int 3^{5 x}\, dx$

      1. пусть $u = 5 x$.

         Тогда пусть $du = 5 dx$ и подставим $\frac{du}{5}$:

         $\int 3^{u}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int 3^{u}\, du = \frac{1}{5} \int 3^{u}\, du$

            1. Интеграл экспоненциальной функции равен ему же, деленному на натуральный логарифм основания.

               $\int 3^{u}\, du = \frac{3^{u}}{\log{\left (3 \right )}}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{3^{u}}{5 \log{\left (3 \right )}}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{3^{5 x}}{5 \log{\left (3 \right )}}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{3^{5 x}}{45 \log{\left (3 \right )}}$

2. Теперь упростить:

   $\frac{3^{5 x}}{45 \log{\left (3 \right )}}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{3^{5 x}}{45 \log{\left (3 \right )}}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{3^{5 x}}{45 \log{\left (3 \right )}}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                        
  /                        
 |                         
 |   5*x - 2         242   
 |  3        dx = ---------
 |                45*log(3)
/                          
0                          

$${{242}\over{45\,\log 3}}$$

Численный ответ

4.89506428541544

Ответ (Неопределённый)

  /                          
 |                    5*x - 2
 |  5*x - 2          3       
 | 3        dx = C + --------
 |                   5*log(3)
/                            

$${{3^{5\,x-2}}\over{5\,\log 3}}$$