Интеграл x/(2*x+1) (dx)

Вы ввели

  1           
  /           
 |            
 |     x      
 |  ------- dx
 |  2*x + 1   
 |            
/             
0             

$$\int\limits_{0}^{1} \frac{x}{2 x + 1}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\frac{x}{2 x + 1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2 \cdot \left(2 x + 1\right)}$

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \left(- \frac{1}{2 \cdot \left(2 x + 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{2 x + 1}\, dx}{2}$

      1. пусть $u = 2 x + 1$.

         Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{1}{4 u}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{2 u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

            Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(u \right)}}{2}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{2}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{4}$

   Результат есть: $\frac{x}{2} - \frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{4}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x}{2} - \frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{x}{2} - \frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$

Ответ

1   log(3)
- - ------
2     4   

$$\frac{1}{2} - \frac{\log{\left(3 \right)}}{4}$$

=

=

1   log(3)
- - ------
2     4   

$$\frac{1}{2} - \frac{\log{\left(3 \right)}}{4}$$

Численный ответ

0.225346927832973

Ответ (Неопределённый)

  /                                 
 |                                  
 |    x             x   log(1 + 2*x)
 | ------- dx = C + - - ------------
 | 2*x + 1          2        4      
 |                                  
/                                   

$$\int \frac{x}{2 x + 1}\, dx = C + \frac{x}{2} - \frac{\log{\left(2 x + 1 \right)}}{4}$$

График