Интеграл x/x*log(x) (dx)

Вы ввели

  1            
  /            
 |             
 |  x*log(x)   
 |  -------- dx
 |     x       
 |             
/              
0              

$$\int\limits_{0}^{1} \frac{x \log{\left(x \right)}}{x}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = \frac{1}{x}$.

      Тогда пусть $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ и подставим $- du$:

      $\int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u^{2}}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u^{2}}\right)\, du = - \int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u^{2}}\, du$

         1. пусть $u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}$.

            Тогда пусть $du = - \frac{du}{u}$ и подставим $- du$:

            $\int u e^{u}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \left(- u e^{u}\right)\, du = - \int u e^{u}\, du$

               1. Используем интегрирование по частям:

                  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

                  пусть $u{\left(u \right)} = u$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

                  Затем $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

                  Чтобы найти $v{\left(u \right)}$:

                  1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Теперь решаем под-интеграл.

               2. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Таким образом, результат будет: $- u e^{u} + e^{u}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u} + \frac{1}{u}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u} - \frac{1}{u}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $x \log{\left(x \right)} - x$

   Метод #2

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$.

      Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$.

      Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int 1\, dx = x$

2. Теперь упростить:

   $x \left(\log{\left(x \right)} - 1\right)$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $x \left(\log{\left(x \right)} - 1\right)+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$x \left(\log{\left(x \right)} - 1\right)+ \mathrm{constant}$

Ответ

-1

$$-1$$

=

=

-1

$$-1$$

Численный ответ

-1.0

Ответ (Неопределённый)

  /                              
 |                               
 | x*log(x)                      
 | -------- dx = C - x + x*log(x)
 |    x                          
 |                               
/                                

$$\int \frac{x \log{\left(x \right)}}{x}\, dx = C + x \log{\left(x \right)} - x$$