9^(2*x)<=1/3 (неравенство)

Укажите решение неравенства: 9^(2*x)<=1/3 (множество решений неравенства)

Вы ввели

 2*x       
9    <= 1/3

$$9^{2 x} \leq \frac{1}{3}$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$9^{2 x} \leq \frac{1}{3}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$9^{2 x} = \frac{1}{3}$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$9^{2 x} = \frac{1}{3}$$
или
$$9^{2 x} - \frac{1}{3} = 0$$
или
$$81^{x} = \frac{1}{3}$$
или
$$81^{x} = \frac{1}{3}$$
- это простейшее показательное ур-ние
Сделаем замену
$$v = 81^{x}$$
получим
$$v - \frac{1}{3} = 0$$
или
$$v - \frac{1}{3} = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без v)
из левой части в правую, получим:
$$v = \frac{1}{3}$$
делаем обратную замену
$$81^{x} = v$$
или
$$x = \frac{\log{\left(v \right)}}{\log{\left(81 \right)}}$$
$$x_{1} = \frac{1}{3}$$
$$x_{1} = \frac{1}{3}$$
Данные корни
$$x_{1} = \frac{1}{3}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{1}{3}$$
=
$$\frac{7}{30}$$
подставляем в выражение
$$9^{2 x} \leq \frac{1}{3}$$
$$9^{2 \cdot \frac{7}{30}} \leq \frac{1}{3}$$

 14       
 --       
 15 <= 1/3
3         
       

но

 14       
 --       
 15 >= 1/3
3         
       

Тогда
$$x \leq \frac{1}{3}$$
не выполняется
значит решение неравенства будет при:
$$x \geq \frac{1}{3}$$

         _____  
        /
-------•-------
       x_1

Быстрый ответ

     -log(3) 
x <= --------
     2*log(9)

$$x \leq - \frac{\log{\left(3 \right)}}{2 \log{\left(9 \right)}}$$

Быстрый ответ 2

      -log(3)  
(-oo, --------]
      2*log(9) 

$$x\ in\ \left(-\infty, - \frac{\log{\left(3 \right)}}{2 \log{\left(9 \right)}}\right]$$

График