2*cos(2*x+pi/3)<=1 (неравенство)

Укажите решение неравенства: 2*cos(2*x+pi/3)<=1 (множество решений неравенства)

Вы ввели

     /      pi\     
2*cos|2*x + --| <= 1
     \      3 /     

$$2 \cos{\left(2 x + \frac{\pi}{3} \right)} \leq 1$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$2 \cos{\left(2 x + \frac{\pi}{3} \right)} \leq 1$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$2 \cos{\left(2 x + \frac{\pi}{3} \right)} = 1$$
Решаем:
Дано уравнение
$$2 \cos{\left(2 x + \frac{\pi}{3} \right)} = 1$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние

Разделим обе части ур-ния на 2

Ур-ние превратится в
$$\cos{\left(2 x + \frac{\pi}{3} \right)} = \frac{1}{2}$$
Это ур-ние преобразуется в
$$2 x + \frac{\pi}{3} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{2} \right)}$$
$$2 x + \frac{\pi}{3} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{2} \right)}$$
Или
$$2 x + \frac{\pi}{3} = \pi n + \frac{\pi}{3}$$
$$2 x + \frac{\pi}{3} = \pi n - \frac{2 \pi}{3}$$
, где n - любое целое число
Перенесём
$$\frac{\pi}{3}$$
в правую часть ур-ния
с противоположным знаком, итого:
$$2 x = \pi n$$
$$2 x = \pi n - \pi$$
Разделим обе части полученного ур-ния на
$$2$$
$$x_{1} = \frac{\pi n}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi n}{2} - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{1} = \frac{\pi n}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi n}{2} - \frac{\pi}{2}$$
Данные корни
$$x_{1} = \frac{\pi n}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi n}{2} - \frac{\pi}{2}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{\pi n}{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{\pi n}{2} - \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$2 \cos{\left(2 x + \frac{\pi}{3} \right)} \leq 1$$
$$2 \cos{\left(2 \left(\frac{\pi n}{2} - \frac{1}{10}\right) + \frac{\pi}{3} \right)} \leq 1$$

      n    /1   pi\     
2*(-1) *sin|- + --| <= 1
           \5   6 /     

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \leq \frac{\pi n}{2}$$

 _____           _____          
      \         /
-------•-------•-------
       x_1      x_2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x \leq \frac{\pi n}{2}$$
$$x \geq \frac{\pi n}{2} - \frac{\pi}{2}$$

Быстрый ответ

And(0 <= x, x < oo)

$$0 \leq x \wedge x < \infty$$

Быстрый ответ 2

[0, oo)

$$x \in \left[0, \infty\right)$$

График