2*sin(x)^2-7*sin(x)+3>0 (неравенство)

Укажите решение неравенства: 2*sin(x)^2-7*sin(x)+3>0 (множество решений неравенства)

Вы ввели

     2                      
2*sin (x) - 7*sin(x) + 3 > 0

$$2 \sin^{2}{\left(x \right)} - 7 \sin{\left(x \right)} + 3 > 0$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$2 \sin^{2}{\left(x \right)} - 7 \sin{\left(x \right)} + 3 > 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$2 \sin^{2}{\left(x \right)} - 7 \sin{\left(x \right)} + 3 = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$2 \sin^{2}{\left(x \right)} - 7 \sin{\left(x \right)} + 3 = 0$$
преобразуем
$$2 \sin^{2}{\left(x \right)} - 7 \sin{\left(x \right)} + 3 = 0$$
$$\left(2 \sin^{2}{\left(x \right)} - 7 \sin{\left(x \right)} + 3\right) + 0 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \sin{\left(x \right)}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 2$$
$$b = -7$$
$$c = 3$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-7)^2 - 4 * (2) * (3) = 25

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = 3$$
Упростить
$$w_{2} = \frac{1}{2}$$
Упростить
делаем обратную замену
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
Дано уравнение
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(3 \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(3 \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \frac{\pi}{6}$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \pi - \operatorname{asin}{\left(3 \right)}$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \pi - \operatorname{asin}{\left(3 \right)}$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{1} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{3} = \pi - \operatorname{asin}{\left(3 \right)}$$
$$x_{4} = \operatorname{asin}{\left(3 \right)}$$
Исключаем комплексные решения:
$$x_{1} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{5 \pi}{6}$$
Данные корни
$$x_{1} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{5 \pi}{6}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{\pi}{6}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{\pi}{6}$$
подставляем в выражение
$$2 \sin^{2}{\left(x \right)} - 7 \sin{\left(x \right)} + 3 > 0$$
$$- 7 \sin{\left(- \frac{1}{10} + \frac{\pi}{6} \right)} + 2 \sin^{2}{\left(- \frac{1}{10} + \frac{\pi}{6} \right)} + 3 > 0$$

         /1    pi\        2/1    pi\    
3 - 7*cos|-- + --| + 2*cos |-- + --| > 0
         \10   3 /         \10   3 /    

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x < \frac{\pi}{6}$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x_1      x_2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x < \frac{\pi}{6}$$
$$x > \frac{5 \pi}{6}$$

Быстрый ответ

  /   /            pi\     /5*pi              \\
Or|And|0 <= x, x < --|, And|---- < x, x < 2*pi||
  \   \            6 /     \ 6                //

$$\left(0 \leq x \wedge x < \frac{\pi}{6}\right) \vee \left(\frac{5 \pi}{6} < x \wedge x < 2 \pi\right)$$

Быстрый ответ 2

    pi     5*pi       
[0, --) U (----, 2*pi)
    6       6         

$$x\ in\ \left[0, \frac{\pi}{6}\right) \cup \left(\frac{5 \pi}{6}, 2 \pi\right)$$

График