(2*x^2-6*x)/(x-4)<=x (неравенство)

Укажите решение неравенства: (2*x^2-6*x)/(x-4)<=x (множество решений неравенства)

Вы ввели

   2           
2*x  - 6*x     
---------- <= x
  x - 4        

$$\frac{2 x^{2} - 6 x}{x - 4} \leq x$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\frac{2 x^{2} - 6 x}{x - 4} \leq x$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\frac{2 x^{2} - 6 x}{x - 4} = x$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$\frac{2 x^{2} - 6 x}{x - 4} = x$$
Домножим обе части ур-ния на знаменатели:
-4 + x
получим:
$$\frac{\left(x - 4\right) \left(2 x^{2} - 6 x\right)}{x - 4} = x \left(x - 4\right)$$
$$2 x \left(x - 3\right) = x \left(x - 4\right)$$
Перенесём правую часть уравнения в
левую часть уравнения со знаком минус.

Уравнение превратится из
$$2 x \left(x - 3\right) = x \left(x - 4\right)$$
в
$$x^{2} - 2 x = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -2$$
$$c = 0$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-2)^2 - 4 * (1) * (0) = 4

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = 2$$
Упростить
$$x_{2} = 0$$
Упростить
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 0$$
Данные корни
$$x_{2} = 0$$
$$x_{1} = 2$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 0$$
=
$$- \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$\frac{2 x^{2} - 6 x}{x - 4} \leq x$$
$$\frac{2 \left(- \frac{1}{10}\right)^{2} - 6 \left(- \frac{1}{10}\right)}{\left(-1\right) 4 - \frac{1}{10}} \leq - \frac{1}{10}$$

-31          
---- <= -1/10
205          

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \leq 0$$

 _____           _____          
      \         /
-------•-------•-------
       x_2      x_1

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x \leq 0$$
$$x \geq 2$$

Быстрый ответ

Or(And(2 <= x, x < 4), And(x <= 0, -oo < x))

$$\left(2 \leq x \wedge x < 4\right) \vee \left(x \leq 0 \wedge -\infty < x\right)$$

Быстрый ответ 2

(-oo, 0] U [2, 4)

$$x\ in\ \left(-\infty, 0\right] \cup \left[2, 4\right)$$

График