2^x+2^x+2<=20 (неравенство)

Укажите решение неравенства: 2^x+2^x+2<=20 (множество решений неравенства)

Вы ввели

 x    x          
2  + 2  + 2 <= 20

$$2^{x} + 2^{x} + 2 \leq 20$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$2^{x} + 2^{x} + 2 \leq 20$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$2^{x} + 2^{x} + 2 = 20$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$2^{x} + 2^{x} + 2 = 20$$
или
$$\left(2^{x} + 2^{x} + 2\right) - 20 = 0$$
или
$$2 \cdot 2^{x} = 18$$
или
$$2^{x} = 9$$
- это простейшее показательное ур-ние
Сделаем замену
$$v = 2^{x}$$
получим
$$v - 9 = 0$$
или
$$v - 9 = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без v)
из левой части в правую, получим:
$$v = 9$$
делаем обратную замену
$$2^{x} = v$$
или
$$x = \frac{\log{\left(v \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$
$$x_{1} = 9$$
$$x_{1} = 9$$
Данные корни
$$x_{1} = 9$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 9$$
=
$$\frac{89}{10}$$
подставляем в выражение
$$2^{x} + 2^{x} + 2 \leq 20$$
$$2 + 2^{\frac{89}{10}} + 2^{\frac{89}{10}} \leq 20$$

         9/10      
2 + 512*2     <= 20
      

но

         9/10      
2 + 512*2     >= 20
      

Тогда
$$x \leq 9$$
не выполняется
значит решение неравенства будет при:
$$x \geq 9$$

         _____  
        /
-------•-------
       x_1

Быстрый ответ

     log(9)
x <= ------
     log(2)

$$x \leq \frac{\log{\left(9 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$

Быстрый ответ 2

      log(9) 
(-oo, ------]
      log(2) 

$$x\ in\ \left(-\infty, \frac{\log{\left(9 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}\right]$$

График