cos(3*x)>sqrt(3)/2 (неравенство)

Укажите решение неравенства: cos(3*x)>sqrt(3)/2 (множество решений неравенства)

Вы ввели

             ___
           \/ 3 
cos(3*x) > -----
             2  

$$\cos{\left(3 x \right)} > \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\cos{\left(3 x \right)} > \frac{\sqrt{3}}{2}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\cos{\left(3 x \right)} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\cos{\left(3 x \right)} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$3 x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \right)}$$
$$3 x = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \right)}$$
Или
$$3 x = \pi n + \frac{\pi}{6}$$
$$3 x = \pi n - \frac{5 \pi}{6}$$
, где n - любое целое число
Разделим обе части полученного ур-ния на
$$3$$
$$x_{1} = \frac{\pi n}{3} + \frac{\pi}{18}$$
$$x_{2} = \frac{\pi n}{3} - \frac{5 \pi}{18}$$
$$x_{1} = \frac{\pi n}{3} + \frac{\pi}{18}$$
$$x_{2} = \frac{\pi n}{3} - \frac{5 \pi}{18}$$
Данные корни
$$x_{1} = \frac{\pi n}{3} + \frac{\pi}{18}$$
$$x_{2} = \frac{\pi n}{3} - \frac{5 \pi}{18}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(\frac{\pi n}{3} + \frac{\pi}{18}\right) - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{\pi n}{3} - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{18}$$
подставляем в выражение
$$\cos{\left(3 x \right)} > \frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$\cos{\left(3 \left(\frac{\pi n}{3} - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{18}\right) \right)} > \frac{\sqrt{3}}{2}$$

                       ___
    n    /3    pi\   \/ 3 
(-1) *sin|-- + --| > -----
         \10   3 /     2  
                     

Тогда
$$x < \frac{\pi n}{3} + \frac{\pi}{18}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > \frac{\pi n}{3} + \frac{\pi}{18} \wedge x < \frac{\pi n}{3} - \frac{5 \pi}{18}$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x_1      x_2

Быстрый ответ

  /   /            pi\     /11*pi          2*pi\\
Or|And|0 <= x, x < --|, And|----- < x, x < ----||
  \   \            18/     \  18            3  //

$$\left(0 \leq x \wedge x < \frac{\pi}{18}\right) \vee \left(\frac{11 \pi}{18} < x \wedge x < \frac{2 \pi}{3}\right)$$

Быстрый ответ 2

    pi     11*pi  2*pi 
[0, --) U (-----, ----)
    18       18    3   

$$x\ in\ \left[0, \frac{\pi}{18}\right) \cup \left(\frac{11 \pi}{18}, \frac{2 \pi}{3}\right)$$

График