cos(x)>9/10 (неравенство)

Укажите решение неравенства: cos(x)>9/10 (множество решений неравенства)

Вы ввели

cos(x) > 9/10

$$\cos{\left(x \right)} > \frac{9}{10}$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\cos{\left(x \right)} > \frac{9}{10}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\cos{\left(x \right)} = \frac{9}{10}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\cos{\left(x \right)} = \frac{9}{10}$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{9}{10} \right)}$$
$$x = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{9}{10} \right)}$$
Или
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{9}{10} \right)}$$
$$x = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{9}{10} \right)}$$
, где n - любое целое число
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{9}{10} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{9}{10} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{9}{10} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{9}{10} \right)}$$
Данные корни
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{9}{10} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{9}{10} \right)}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(\pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{9}{10} \right)}\right) - \frac{1}{10}$$
=
$$\pi n - \frac{1}{10} + \operatorname{acos}{\left(\frac{9}{10} \right)}$$
подставляем в выражение
$$\cos{\left(x \right)} > \frac{9}{10}$$
$$\cos{\left(\pi n - \frac{1}{10} + \operatorname{acos}{\left(\frac{9}{10} \right)} \right)} > \frac{9}{10}$$

    n                              
(-1) *cos(1/10 - acos(9/10)) > 9/10
       

Тогда
$$x < \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{9}{10} \right)}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{9}{10} \right)} \wedge x < \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{9}{10} \right)}$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x1      x2

Быстрый ответ

  /   /                /  ____\\     /                /  ____\           \\
  |   |                |\/ 19 ||     |                |\/ 19 |           ||
Or|And|0 <= x, x < atan|------||, And|x < 2*pi, - atan|------| + 2*pi < x||
  \   \                \  9   //     \                \  9   /           //

$$\left(0 \leq x \wedge x < \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{19}}{9} \right)}\right) \vee \left(x < 2 \pi \wedge - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{19}}{9} \right)} + 2 \pi < x\right)$$

Быстрый ответ 2

        /  ____\           /  ____\              
        |\/ 19 |           |\/ 19 |              
[0, atan|------|) U (- atan|------| + 2*pi, 2*pi)
        \  9   /           \  9   /              

$$x\ in\ \left[0, \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{19}}{9} \right)}\right) \cup \left(- \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{19}}{9} \right)} + 2 \pi, 2 \pi\right)$$

График