cos(x)>=-1/(sqrt(2)) (неравенство)

Укажите решение неравенства: cos(x)>=-1/(sqrt(2)) (множество решений неравенства)

Вы ввели

           -1  
cos(x) >= -----
            ___
          \/ 2 

$$\cos{\left(x \right)} \geq - \frac{1}{\sqrt{2}}$$

Подробное решение

Дано неравенство:
$$\cos{\left(x \right)} \geq - \frac{1}{\sqrt{2}}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\cos{\left(x \right)} = - \frac{1}{\sqrt{2}}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\cos{\left(x \right)} = - \frac{1}{\sqrt{2}}$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}$$
$$x = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}$$
Или
$$x = \pi n + \frac{3 \pi}{4}$$
$$x = \pi n - \frac{\pi}{4}$$
, где n - любое целое число
$$x_{1} = \pi n + \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{2} = \pi n - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{1} = \pi n + \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{2} = \pi n - \frac{\pi}{4}$$
Данные корни
$$x_{1} = \pi n + \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{2} = \pi n - \frac{\pi}{4}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(\pi n + \frac{3 \pi}{4}\right) - \frac{1}{10}$$
=
$$\pi n - \frac{1}{10} + \frac{3 \pi}{4}$$
подставляем в выражение
$$\cos{\left(x \right)} \geq - \frac{1}{\sqrt{2}}$$
$$\cos{\left(\pi n - \frac{1}{10} + \frac{3 \pi}{4} \right)} \geq - \frac{1}{\sqrt{2}}$$

                          ___ 
     n    /1    pi\    -\/ 2  
-(-1) *cos|-- + --| >= -------
          \10   4 /       2   
                       

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \leq \pi n + \frac{3 \pi}{4}$$

 _____           _____          
      \         /
-------•-------•-------
       x_1      x_2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x \leq \pi n + \frac{3 \pi}{4}$$
$$x \geq \pi n - \frac{\pi}{4}$$

Быстрый ответ

  /   /             3*pi\     /5*pi               \\
Or|And|0 <= x, x <= ----|, And|---- <= x, x < 2*pi||
  \   \              4  /     \ 4                 //

$$\left(0 \leq x \wedge x \leq \frac{3 \pi}{4}\right) \vee \left(\frac{5 \pi}{4} \leq x \wedge x < 2 \pi\right)$$

Быстрый ответ 2

    3*pi     5*pi       
[0, ----] U [----, 2*pi)
     4        4         

$$x\ in\ \left[0, \frac{3 \pi}{4}\right] \cup \left[\frac{5 \pi}{4}, 2 \pi\right)$$

График